On dit que la v. a X suit loi normale centr´ee r´eduite, not´ee
N (0, 1), si X prend ses valeurs dans tout R et que sa fonction de
densit´e est
f (x) = 1
√
2π
e
−
x
2
2
E(X) = 0 et Var(x) = 1.
La fonction de r´epartition de X , est alors
φ(x) = P (X ≤ x) = Z x
−∞
1
√
2π
e
−
x
2
2 dx.
Cette fonction ne peut s’exprimer, ni se calculer de fa¸con
simple mais ses valeurs sont tabl´ees.
www.economie-gestion.com
Table statistique de la loi Normale centr´ee r´eduite
www.economie-gestion.com
Table statistique de la loi Normale centr´ee r´eduite
www.economie-gestion.com
Remarque
La loi Normale est sym´etrique, c.`a.d pour tout x ∈ R
P(X ≤ x) = P(X ≥ −x).
En particulier P(X ≤ 0) = P(X ≥ 0) = 1
2
.
On peut aussi ´ecrire que
φ(−x) = 1 − φ(x), ∀x ∈ R.
www.economie-gestion.com
Remarque
Dans une table statistique de la loi centr´ee r´eduite, on ne peut lire
que φ(x) = P(X ≤ x) pour x ≥ 0.
Comment calculer par exemple P(X ≥ −1, 87) et P(X ≤ −0, 93) ?
Il suffit d’appliquer la remarque pr´ec´edente et utiliser la table
statistique :
D’une part,P(X ≥ −1, 87) = P(X ≤ 1, 87) = 0, 97.
D’autre part,
P(X ≤ −0, 93) = P(X ≥ 0, 93) = 1 − P(X0, 93)
= 1 − 0, 82 = 0, 18
www.economie-gestion.com
Exercice
Soit X une variable normale centr´ee r´eduite.
1 A partir de la table statistique de la loi ` N (0, 1), trouver
P(X ≤ 1, 74) et P(X ≤ 0, 96).
2 En d´eduire
1 P(X ≥ −1, 74) et P(X−0, 96).
2 P(0, 96X ≤ 1, 74) et P(X−0, 96 ou X1, 74).
www.economie-gestion.com
Loi Normale
D´efinition
On dit que la v.a. X suit loi normale d’esp´erance µ ∈ R et
d’´ecart-type σ0, not´ee N (µ, σ), si la v.a. Y =
X − µ
σ
suit loi
normale centr´ee r´eduite.
Sa fonction de densit´e est donn´ee par
f (x) = 1
σ
√
2π
e
−
1
2
 
x − µ
σ