لخّصلي

توصي حركة المعايير بنهاية القرن العشرين بربط الرياضيات بمجالات أخرى وبالعالم الحقيقي، مُقترحةً دمج عناصر الهندسة في مناهج الرياضيات بدلاً من دورة منفصلة. تُؤكد المعايير الخمسة الرئيسية على أهمية المعرفة الهندسية، وترتبط معايير العملية (حل المشكلات، الاستدلال، الاتصالات، الربط، التمثيلات) جميعها بالمحتوى الهندسي. تغيرت مبررات تدريس الهندسة، فبينما كانت تُبرر سابقاً بتنمية التفكير المنطقي (حجة رسمية)، أصبحت تُبرر الآن بأهميتها في بناء رياضيات متماسكة (حجة رياضية) وباستخدامها في حل مشاكل العالم الحقيقي (حجة نفعية). معايير عام 1989 أشارت إلى دور التكنولوجيا، بينما أكدت معايير (NCTM، 2000) على تمكين الطلاب في سعيهم للمعرفة الرياضية، وتطوير مهاراتهم البصرية المكانية، واستخدام برامج الكمبيوتر في تطوير الحدس الهندسي. تتضمن معايير الهندسة أهدافاً متعددة: تمكين الطلاب من فهم عمل علماء الرياضيات، وإعدادهم لمهنهم المستقبلية، وتطوير مهاراتهم الهندسية. لكنها تخلت عن فكرة نقل التدريب على التفكير المنطقي. قد تعكس صياغة الحجج المتنافسة داخل معيار الهندسة التوترات حول أهداف التعليم، مُشددةً على ضرورة الاعتراف بالرؤى المتنافسة في التعليم وعدم افتراض أن إصلاح الرياضيات المدرسية سيكون ناجعاً دون ربطه بإصلاح المجتمع الأوسع. قد يظهر القرن الجديد مبررات جديدة لتدريس الهندسة مع تطور التكنولوجيا ومتطلبات المساءلة.

علىغرار الحركة التي اقترحت منهجاً متكاملاً للرياضيات في بداية القرن العشرين، فإن توصيات
حركةالمعايير في نهاية القرن العشرين تتضمن حافزاً قوياً لربط المجالات الرياضية، وربط الأفكار
الرياضيةمع تلك الموجودة في التخصصات الأخرى، وربط الأفكار الرياضية بالمشكلات من العالم
66 ). بي إس إس إملا يقدم هذا - الحقيقي(المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات، 2000 ، ص 64
الكتابمنهجاً دراسياً لأي من دورات الرياضيات ولا ينكر بشكل مباشر وجود دورة منفصلة للهندسة.
بليقترح أن عناصر الهندسة يجب أن تتخلل مناهج الرياضيات المدرسية ويقترح إقامة روابط أقوى
؛ بينالمواد في حالة تدريس دورات منفصلة (المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات، 2000 ، ص 289
359 ). إن وجود معيار للهندسة بين معايير المحتوى الخمسة الرئيسية 10 يؤكد هذا - انظرأيضاً ص 354
علىأن تطوير الطلاب للمعرفة الهندسية لا يزال موضع تقدير. ومن بين عواقب الدعوة إلى الربط أن
مبرراتتدريس وتعلم المفاهيم الهندسية تتخلل مناهج الرياضيات دون تخصيص هذه المسؤولية
لأيدورة واحدة فقط. بالإضافة إلى ذلك، فإن معايير العملية الخمسة (حل المشكلات، والاستدلال
والإثبات،والاتصالات، والربط، والتمثيلات) مرتبطة جميعها بالمحتوى الهندسي.
لقدتسربت بعض الحجج النمطية التي تطورت خلال القرن العشرين لتبرير تدريس الهندسة إلى
المعايير.ولا تزال مبررات دراسة الهندسة تحتفظ ببعض الخصائص الخاصة التي دعمت وجودها
ضمنمناهج الرياضيات في المدارس الثانوية. وفي الوقت نفسه، تلاشت مبررات أخرى من مناهج
الرياضياتفي المدارس الثانوية. لقد تغيرت الطريقة التي تتجلى بها أهداف تعلم وتدريس الهندسة
وكذلكالاستفادة من هذه الأهداف في مناهج الرياضيات.
لقدبدأ القرن العشرين بقضايا تتعلق بنقل الانضباط العقلي كمبررات لدراسة الهندسة. إن الفكرة
الراسخةبين معلمي الرياضيات بأن الدور الرئيسي للهندسة هو التدريب على المنطق كانت بلا شك
أحدالأسباب وراء الفشل النهائي لمحاولات التوحيد التي بدأت في بداية القرن مع حركة الرياضيات
1926 ). إن التغيير الملحوظ في خطاب حركة المعايير هو أنه على الرغم / العامةلإي إتش مور ( 1902
منالقيمة التي يتم وضعها على تعلم الطلاب للهندسة، فإنحجة رسميةلا يلعب أي دور في تبرير
دراسةالهندسة ضمن خطاب حركة المعايير. يتضمن معيار الاستدلال والإثبات مبررات تدريس
الإثباتعلى جميع المستويات. ولكن على النقيض من النهج الموضح في كتاب فوسيت،طبيعة
الإثباتالتي قدمت أمثلة على استخدام الاستدلال الاستنتاجي في المواقف غير الرياضية، بي إس
إسإمتتضمن أمثلة تقع ضمن نطاق النشاط الرياضي (أو تلك التي تتعلق بالنماذج الرياضية
للمشاكلالتطبيقية). لا يتم تصدير التفكير الرياضي مباشرة من الهندسة إلى مواقف غير رياضية؛ بل
يتمالتأكيد على دور الإثبات في إنشاء رياضيات معقولة. على سبيل المثال، ينص معيار الهندسة
ص 310 ) عند ،NCTM، علىأن الطلاب يجب أن "يجمعوا عدداً من الاستنتاجات المنطقية" ( 2000
حلمشكلة. يعد تعلم الطلاب للتفكير المنطقي أداة يمكنهم استخدامها في فصول الرياضيات
الخاصةبهم،
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 25
ص 342 ). ولكن الهندسة لا تحمل عبء تعليم ،NCTM، وخاصةعند صياغة البراهين ( 2000
مهاراتالتفكير. بل إن استخدام الطلاب للاستنتاجات المنطقية (في الرياضيات) من شأنه أن يؤدي
ص 311 )، وهو الهدف الذي ،NCTM، إلىاكتساب الطلاب فهماً أعمق للمفاهيم الهندسية ( 2000
يبدوأكثر توافقاً مع حجة رياضية.
فيحين أنحجة رسميةأكد على استخدام التفكير المنطقي في المواقف خارج الرياضيات، بي إس
إسإمويؤكد هذا على أن الطلاب سوف يصبحون أكثر تمكيناً واستقلالية في سعيهم وراء المعرفة
الرياضية."من أجل تقييم صحة التفسيرات المقترحة، يجب على الطلاب تطوير قدر كاف من الثقة
فيقدراتهم على التفكير المنطقي للتساؤل حول حجج الآخرين الرياضية وكذلك حججهم الخاصة" (
وبالتالي، بي إس إس إميوائم توقعات الطلاب للانخراط في التفكير .(NCTM، 2000،345-346
المنطقيمع عمل الرياضيات، مما يجعلهم أقرب إلى أنصار حجة رياضيةفي هذا الصدد.
وقدعكست معايير عام 1989 بعض أهدافحجة رسميةفي سياق تكامل التكنولوجيا. وقد ذكرت
معاييرعام 1989 أن برامج الكمبيوتر مفيدة في "تطوير ومقارنة وتطبيق الخوارزميات" (ص 159 ). بي
إسإس إمومع ذلك، يبدو أن المناقشة حول كيفية استخدام أجهزة الكمبيوتر لتجربة إنشاء الحجج
الاستنتاجيةتتوافق بشكل أكبر مع حجة رياضية.يبدو أن تطور برامج الهندسة الديناميكية لتشمل
جوانبأقل من البرمجة وجوانب أكثر من التلاعب قد أثر على أهداف تدريس الهندسة. كانت الأنواع
السابقةمن برامج التعليم تتطلب بعض مهارات البرمجة الأساسية التي كان تعلم المنطق الرسمي
أحدمصادرها؛ وتميل برامج الهندسة الديناميكية الحالية إلى المطالبة باستخدامات منطقية أكثر
ارتباطاًبدلالات المجال الذي تتم دراسته.
إنمن بين الذكريات القوية للخطاب الإنساني الذي تبنته لجنة العشرة، وفلسفة الانضباط العقلي
التيأثرت عليها، فكرة أن جميع الطلاب يجب أن يتعلموا الهندسة، والتي ضمنها شعار المجلس
الوطنيلمعلمي الرياضيات "الرياضيات للجميع". وهذا ليس بالأمر الجديد بالنسبة للمجلس الوطني
لمعلميالرياضيات، الذي تأسس لمواجهة بعض الدوافع التعليمية التي جعلت الرياضيات مادة
اختيارية(بيتز، 1936 ؛ كيلباتريك وآخرون، 1920 ). بي إس إس إملا يضع أهدافاً مختلفة للطلاب
اعتماداًعلى قدراتهم، على غرار تقرير لجنة الخمسة عشر.
إنعمل الطلاب في صياغة الحجج المنطقية يتماشى مع عمل علماء الرياضيات، مما يجعل معيار
الهندسةحالة منحجة رياضية.على سبيل المثال، بي إس إس إميقدم هذا الكتاب عرضاً موجزاً
يفشلفيه الطلاب في إيجاد تعميم عندما ينظرون إلى مضلعات ناتجة عن ربط نقاط المنتصف
لأضلاعمضلعات مختلفة. ويؤكد المعلم في العرض الموجز على قيمة العملية التي انخرط فيها
.( ص 312 ،NCTM، الطلابويثني على الطلاب لانخراطهم في عملية "رياضية حقاً" ( 2000
فيحين أن معيار الهندسة لا يستمد أي دعم منحجة رسمية، تأثير حجة نفعيةربما يكون بارزاً مثل
ذلكالخاص ب حجة رياضيةيوضح معيار الهندسة تطبيقات المفاهيم الهندسية في مكان العمل. "
يمكنأن توفر المشكلات التطبيقية سياقات غنية لاستخدام الأفكار الهندسية والممارسة في
،NCTM) " النمذجةوحل المشكلات
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
26 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
إنالرياضيات التي يتبعها المهندسون في تصميم خطوط الأنابيب، والفنان الذي يستخدم الرسم
المنظوري،والعامل الذي يجد المسار الأدنى، والمصرفي الذي يحدد أفضل مسار، هي الرياضيات
التييعتمد عليها مستقبل الطلاب المهني.
اختيارالأشكال الهندسية المختلفة فيبي إس إس إميتم دعمها من خلال الحاجة إلى حل مشاكل
بي إس NCTM، 317 ). مؤلفو ، 2000 - العالمالحقيقي كما هو الحال مع أنصار حجة نفعية(ص 316
إسإمتنص على أنه "في مجموعة واحدة من الظروف قد يكون من المفيد للغاية التفكير في
خصائصالكائن من منظور الهندسة الإقليدية بينما في ظروف أخرى، قد يكون النهج الإحداثي أو
ص 309 ). وبالتالي، في حين بررت معايير عام 1989 الإشارة ،NCTM، التحويليأكثر فائدة" ( 2000
إلىالهندسة غير الإقليدية على الحاجة إلى توضيح دور الافتراضات في نظام بديهي، فإن اختيار
هندسةأخرى غير الهندسة الإقليدية الاصطناعية فيبي إس إس إميتماشى أكثر مع نفعيفكرة العثور
علىأفضل أداة لحل مشكلة .
آثارمنحجة بديهيةتظهر أيضاً في معيار الهندسة. يجب على الطلاب تطوير المهارات البصرية
والمكانيةوالرسم بالإضافة إلى لغة للتواصل حول تجاربهم في عالم مادي من صنع الإنسان يعتمد
تلعب أجهزة الكمبيوتر دوراً خاصاً في تطوير .(Tatsuoka et al.، علىالهندسة بشكل متزايد ( 2004
حدسهمالهندسي. على سبيل المثال، يؤكد معيار الهندسة على استخدام برامج الكمبيوتر لتطوير
ص 316 ). هناك شعور بأن ،NCTM، مهاراتالتصور لدى الطلاب اللازمة في بيئات العمل ( 2000
.Usiskin )1980/ الهندسةستساعد في الحصول على فهم أفضل للعالم كما زعم ) 1995
يتبعمعيار الهندسة الاتجاه الذي بدأ في تقرير لجنة الخمسة عشر، حيث أصبح الاندماج بين
المفاهيمالهندسية والتطبيقات ذا أهمية في منهج الهندسة. في الوقت نفسه، يتضمن معيار
الهندسةبعض التوقعات لدورة الهندسة التي تم تطويرها خلال القرن العشرين مثل جعل الطلاب
يختبرونعمل علماء الرياضيات، وإعدادهم لمهنهم المستقبلية، وتطوير مهارات فريدة لدراسة
الهندسة.في حين اعترف معيار الهندسة بهذه الأهداف لدراسة الهندسة، إلا أنه تخلى عن فكرة نقل
التدريبعلى التفكير المنطقي الذي ميز المناقشات السابقة حول دراسة الهندسة.
إنصياغة الحجج المتنافسة داخل معيار الهندسة قد تعكس التوترات حول أهداف التعليم. وقد
تتعارضالمبررات المختلفة مع بعضها البعض وفي نفس الوقت قد تساعد في دعم إصدارات
مختلفةمن دورة الهندسة.
إنالرؤى المتنافسة أي الإجابات المتنافسة على الأسئلة المتعلقة بما ينبغي لنا أن
نعلمه،ولماذا ينبغي لنا أن نعلم شيئا بدلا من آخر، ومن ينبغي له أن يحصل على
المعرفة قد تكون صحية، ولكن فقط إذا تم الاعتراف بها والتعامل معها. ومن السذاجة،
فضلا عن ذلك، أن نفترض أن الإصلاح الواسع النطاق في الرياضيات المدرسية سوف
ينتجعن أي جهد يركز فقط على المدارس ولا يرتبط بطريقة أو بأخرى بإصلاح المجتمع
( الأوسع.(ستانيك وكيلباتريك، 1992 ، ص 416
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 27
ال 21 شارعوقد يؤدي القرن الجديد أيضاً إلى إيجاد مبررات جديدة لتدريس الهندسة، وخاصة مع توافر
التكنولوجياالجديدة والموارد الأخرى ومع ظهور متطلبات المساءلة الأكثر صرامة للمعلمين
والمدارسوالمناطق التعليمية.