e circuit RC parallele n'est pas interessant a etudier avec des tensions ou courants continus.On a donc :

u l ( t )

u r ( t )

0 {\displaystyle u_{l}(t)-u_{r}(t)=0} En utilisant les lois U

R ?Etudions maintenant le circuit RL serie

Vu qu'il s'agit d'un circuit serie, la loi des noeuds nous donne :

I

i l ( t )

i r ( t ) {\displaystyle I=i_{l}(t)=i_{r}(t)} On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit, ce qui fait que la loi des mailles donne :

U

u l ( t ) + u r ( t ) {\displaystyle U=u_{l}(t)+u_{r}(t)} On peut calculer la tension aux bornes de la resistance avec la loi d'Ohm et celle aux bornes de la bobine par la loi U l

L ?Les equations Vu qu'il s'agit d'un circuit serie, la loi des noeuds nous donne :

i ( t )

i c ( t )

i r ( t ) {\displaystyle i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)} On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple.Les equations Vu qu'il s'agit d'un circuit serie, la loi des noeuds nous donne :

i ( t )

i c ( t )

i r ( t ) {\displaystyle i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)} On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple.d u c ( t ) d t {\displaystyle U=u_{c}(t)+RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}} Quelques manipulations algebriques nous donnent alors l'equation differentielle du premier ordre suivante :

d u c ( t ) d t + u c ( t ) R C

U R C

0 {\displaystyle {\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}-{\frac {U}{RC}}=0} Les mathematiques nous disent que la solution d'une telle equation differentielle est obligatoirement de la forme suivante :

u c ( t )

A ?) {\displaystyle I={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)} On voit que cette equation est identique a celle de la charge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensite du courant dans la bobine qui est donnee par l'equation (et non la tension).{\displaystyle I={\frac {U}{R}}\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}} Cette equation est identique a celle de la decharge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensite du courant dans la bobine qui est donnee par l'equation (et non la tension).d u c ( t ) d t {\displaystyle u_{c}(t)=RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}} Quelques manipulations algebriques nous donnent alors l'equation differentielle du premier ordre suivante :

d u c ( t ) d t + u c ( t ) R C

0 {\displaystyle {\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}=0} Sa solution est de la forme :

u c ( t )

K ?Nous laissons le cas d'une tension ou d'un courant de charge alternatif pour les chapitres ulterieurs, ceux-ci demandant des outils mathematiques assez complexes.Dans cette section, nous allons etudier ce circuit et regarder ce qui se passe quand on soumet le montage a une tension continue.C {\displaystyle \tau =R\cdot C}, ce qui donne :

u c ( t )

U ( 1

e

t R C ) {\displaystyle u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)} L'evolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en charge.On voit aussi que la croissance n'est pas lineaire et que la tension tend vers la tension U {\displaystyle U}, sans pour autant l'atteindre (sauf apres un temps infini).La variation de cette tension etant nulle, celui-ci se charge tres rapidement et aucun courant ne passe plus dans le condensateur.La loi des mailles nous donne l'equation suivante :

U

u c ( t ) + u r ( t ) {\displaystyle U=u_{c}(t)+u_{r}(t)} On peut calculer la tension aux bornes de la resistance avec la loi d'Ohm :

U

u c ( t ) + R ?La loi des mailles nous donne l'equation suivante :

u c ( t )

u r ( t ) {\displaystyle u_{c}(t)=u_{r}(t)} On peut calculer la tension aux bornes de la resistance avec la loi d'Ohm :

u c ( t )

R ?I ( t )

0 {\displaystyle L\cdot {\frac {dI(t)}{dt}}-R\cdot I(t)=0} Les mathematiques nous disent que la solution d'une telle equation differentielle est la suivante, avec ?On voit aussi que la decroissance n'est pas lineaire et que la tension tend vers zero, sans pour autant l'atteindre (sauf apres un temps infini).Dans ce qui va suivre, le circuit RC est soudainement connecte a une tension constante U {\displaystyle U}.i r ( t ) {\displaystyle U=u_{c}(t)+R\cdot i_{r}(t)} Le courant dans la resistance est egal a celui dans le condensateur (voir supra), donc :

U

u c ( t ) + R ?i r ( t ) {\displaystyle u_{c}(t)=R\cdot i_{r}(t)} Le courant dans la resistance est egal a celui dans le condensateur (voir supra), donc :

u c ( t )

R ?{\textstyle u_{c}(t)=U\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}} L'evolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en cours de decharge.On commence l'etude du circuit au moment ou la tension apparait, en supposant que le condensateur est initialement vide.+ B {\displaystyle u_{c}(t)=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B} Trouver les constantes A {\displaystyle A} et B {\displaystyle B} demande peu de reflexion.{\textstyle u_{c}(t)=K\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}} En se rappelant de la condition initiale u c ( 0 )

U {\displaystyle u_{c}(0)=U}, on trouve : K

U {\displaystyle K=U}.Tout le courant passe dans la resistance, ce qui rend ce circuit inutile.Apres un temps infini, le premier terme sera nul (il tend vers zero quand t tend vers l'infini).Nous allons d'abord etudier le cas de la charge d'un condensateur, avant de passer a sa decharge.) {\displaystyle u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)} Quelques developpements supplementaires nous disent que ?Mais le circuit RL est interessant a etudier quand le regime permanent (stable) n'est pas encore atteint.D'apres la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est egale a la tension de la source/generateur.Le seul circuit RC a avoir le moindre interet est de loin le circuit RC serie.Le condensateur peut alors se remplir de charges ou se vider.i c ( t ) {\displaystyle U=u_{c}(t)+R\cdot i_{c}(t)} On applique alors la loi I

C ?d U d t {\displaystyle I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}} pour calculer le courant i c ( t ) {\displaystyle i_{c}(t)}.i c ( t ) {\displaystyle u_{c}(t)=R\cdot i_{c}(t)} On applique alors la loi I

C ?d U d t {\displaystyle I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}} pour calculer le courant i c ( t ) {\displaystyle i_{c}(t)}.{\displaystyle u_{c}(t)=U-U\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}} u c ( t )

U ( 1

e

t ?La charge d'un condensateur

Maille du circuit RC serie.En consequence, on aura : u c ( t )

B {\displaystyle u_{c}(t)=B}.Quand t=0, on a simplement u c ( t )

0 {\displaystyle u_{c}(t)=0}.Condensateur parfait - convention de charge.Condensateur parfait - convention de decharge.Notations utilisees dans la suite de la section.

e circuit RC parallèle n'est pas intéressant à étudier avec des tensions ou courants continus. D'après la loi des mailles, la tension aux bornes du condensateur est égale à la tension de la source/générateur. La variation de cette tension étant nulle, celui-ci se charge très rapidement et aucun courant ne passe plus dans le condensateur. Tout le courant passe dans la résistance, ce qui rend ce circuit inutile. Le seul circuit RC à avoir le moindre intérêt est de loin le circuit RC série.

Notations utilisées dans la suite de la section.

Condensateur parfait - convention de charge.

Condensateur parfait - convention de décharge.
La charge d'un condensateur

Maille du circuit RC série.
Dans cette section, nous allons étudier ce circuit et regarder ce qui se passe quand on soumet le montage à une tension continue. Le condensateur peut alors se remplir de charges ou se vider. Nous allons d'abord étudier le cas de la charge d'un condensateur, avant de passer à sa décharge. Nous laissons le cas d'une tension ou d'un courant de charge alternatif pour les chapitres ultérieurs, ceux-ci demandant des outils mathématiques assez complexes.

Dans ce qui va suivre, le circuit RC est soudainement connecté à une tension constante
U
{\displaystyle U}. On commence l'étude du circuit au moment où la tension apparaît, en supposant que le condensateur est initialement vide.

Les équations
Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

i
(
t
)

i
c
(
t
)

i
r
(
t
)
{\displaystyle i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)}
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

U

u
c
(
t
)
+
u
r
(
t
)
{\displaystyle U=u_{c}(t)+u_{r}(t)}
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

U

u
c
(
t
)
+
R
⋅
i
r
(
t
)
{\displaystyle U=u_{c}(t)+R\cdot i_{r}(t)}
Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

U

u
c
(
t
)
+
R
⋅
i
c
(
t
)
{\displaystyle U=u_{c}(t)+R\cdot i_{c}(t)}
On applique alors la loi
I

C
⋅
d
U
d
t
{\displaystyle I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}} pour calculer le courant
i
c
(
t
)
{\displaystyle i_{c}(t)}.

U

u
c
(
t
)
+
R
C
⋅
d
u
c
(
t
)
d
t
{\displaystyle U=u_{c}(t)+RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}}
Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

d
u
c
(
t
)
d
t
+
u
c
(
t
)
R
C
−
U
R
C

0
{\displaystyle {\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}-{\frac {U}{RC}}=0}
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est obligatoirement de la forme suivante :

u
c
(
t
)

A
⋅
e
−
t
τ
+
B
{\displaystyle u_{c}(t)=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B}
Trouver les constantes
A
{\displaystyle A} et
B
{\displaystyle B} demande peu de réflexion.

Après un temps infini, le premier terme sera nul (il tend vers zéro quand t tend vers l'infini). En conséquence, on aura :
u
c
(
t
)

B
{\displaystyle u_{c}(t)=B}. Or, après un temps infini, la tension aux bornes du condensateur est celle d'un condensateur totalement chargé : ce n'est autre que la tension du générateur
U
{\displaystyle U}.
Quand t=0, on a simplement
u
c
(
t
)

0
{\displaystyle u_{c}(t)=0}. Dans ce cas, on a :
0

A
⋅
e
−
t
τ
+
B

A
+
B
{\displaystyle 0=A\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}+B=A+B}. Donc,
A

−
B
{\displaystyle A=-B}, ce qui donne :
A

−
U
{\displaystyle A=-U}.
L'équation devient donc :

u
c
(
t
)

U
−
U
⋅
e
−
t
τ
{\displaystyle u_{c}(t)=U-U\cdot e^{-{\frac {t}{\tau }}}}
u
c
(
t
)

U
(
1
−
e
−
t
τ
)
{\displaystyle u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}
Quelques développements supplémentaires nous disent que
τ

R
⋅
C
{\displaystyle \tau =R\cdot C}, ce qui donne :

u
c
(
t
)

U
(
1
−
e
−
t
R
C
)
{\displaystyle u_{c}(t)=U\left(1-e^{-{\frac {t}{RC}}}\right)}
L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en charge.
Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension augmente progressivement. On voit aussi que la croissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers la tension
U
{\displaystyle U}, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini).

Une chose importante est que le produit
τ

R
C
{\displaystyle \tau =RC} est une valeur qui gouverne la croissance de la tension. Dans le détail, il s'agit d'une valeur appelée la constante de temps du circuit RC. En effet, le produit RC a la dimension d'un temps. Les équations à base d'unités le montrent assez bien :

R
⋅
C

U
I
⋅
Q
U

Q
I

T
{\displaystyle R\cdot C={\frac {U}{I}}\cdot {\frac {Q}{U}}={\frac {Q}{I}}=T}
La figure de droite montre que le condensateur est rempli :

à 63% au bout d'un temps égal à
τ
{\displaystyle \tau } ;
à 86.5% au bout d'un temps égal à
2
⋅
τ
{\displaystyle 2\cdot \tau } ;
à 95% au bout d'un temps égal à
3
⋅
τ
{\displaystyle 3\cdot \tau } ;
à 98.2% au bout d'un temps égal à
4
⋅
τ
{\displaystyle 4\cdot \tau } ;
à 99.3% au bout d'un temps égal à
5
⋅
τ
{\displaystyle 5\cdot \tau }.
Les valeurs de 63, 95 et 99% sont de loin les plus importantes à retenir.

La décharge d'un condensateur
Après avoir vu la charge d'un condensateur, voyons sa décharge. Celle-ci est similaire à la charge, à quelques différences près. Déjà, on peut décharger un condensateur sans avoir besoin d'un générateur dans le circuit : il suffit de connecter les deux bornes du condensateur entre elles, à travers une résistance. En faisant cela, les charges négatives sur l'armature paire vont rejoindre les charges positives sur l'autre armature. Elles vont alors s'annuler, donnant un condensateur totalement déchargé à la fin du processus. Dans ce qui va suivre, les deux bornes du condensateur sont soudainement connectées entre elles, avec une résistance intercalée entre les deux.

Les équations
Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

i
(
t
)

i
c
(
t
)

i
r
(
t
)
{\displaystyle i(t)=i_{c}(t)=i_{r}(t)}
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit RC, ce qui rend son analyse assez simple. La loi des mailles nous donne l'équation suivante :

u
c
(
t
)

u
r
(
t
)
{\displaystyle u_{c}(t)=u_{r}(t)}
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm :

u
c
(
t
)

R
⋅
i
r
(
t
)
{\displaystyle u_{c}(t)=R\cdot i_{r}(t)}
Le courant dans la résistance est égal à celui dans le condensateur (voir supra), donc :

u
c
(
t
)

R
⋅
i
c
(
t
)
{\displaystyle u_{c}(t)=R\cdot i_{c}(t)}
On applique alors la loi
I

C
⋅
d
U
d
t
{\displaystyle I=C\cdot {\frac {dU}{dt}}} pour calculer le courant
i
c
(
t
)
{\displaystyle i_{c}(t)}.

u
c
(
t
)

R
C
⋅
d
u
c
(
t
)
d
t
{\displaystyle u_{c}(t)=RC\cdot {\frac {du_{c}(t)}{dt}}}
Quelques manipulations algébriques nous donnent alors l'équation différentielle du premier ordre suivante :

d
u
c
(
t
)
d
t
+
u
c
(
t
)
R
C

0
{\displaystyle {\frac {du_{c}(t)}{dt}}+{\frac {u_{c}(t)}{RC}}=0}
Sa solution est de la forme :

u
c
(
t
)

K
⋅
e
−
t
τ
{\textstyle u_{c}(t)=K\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}
En se rappelant de la condition initiale
u
c
(
0
)

U
{\displaystyle u_{c}(0)=U}, on trouve :
K

U
{\displaystyle K=U}. On a alors :

u
c
(
t
)

U
⋅
e
−
t
τ
{\textstyle u_{c}(t)=U\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}
L'évolution dans le temps

Tension aux bornes d'un condensateur en cours de décharge.
Si on dessine le graphe de l'équation précédente, on obtient la figure située à votre droite. On voit que la tension diminue progressivement. On voit aussi que la décroissance n'est pas linéaire et que la tension tend vers zéro, sans pour autant l'atteindre (sauf après un temps infini). La figure de droite montre que le condensateur est déchargé :

à 36.8% au bout d'un temps égal à
τ
{\displaystyle \tau } ;
à 13.5% au bout d'un temps égal à
2
⋅
τ
{\displaystyle 2\cdot \tau } ;
à 5% au bout d'un temps égal à
3
⋅
τ
{\displaystyle 3\cdot \tau } ;
à 1.8% au bout d'un temps égal à
4
⋅
τ
{\displaystyle 4\cdot \tau } ;
à 0.7% au bout d'un temps égal à
5
⋅
τ
{\displaystyle 5\cdot \tau }.
Les valeurs de 37, 5 et 1% sont de loin les plus importantes à retenir.

Circuit RL
Les circuits RL sont similaires aux circuits RC, si ce n'est que le condensateur est remplacé par une bobine. Ils sont composés d'une résistance placée en série ou en parallèle d'une bobine. Le circuit avec la bobine en parallèle de la résistance n'est pas intéressant en courant continu. La bobine n'étant pas autre chose qu'un fil électrique en courant continu, la résistance est simplement court-circuitée. Même chose pour le circuit série, une fois que le courant est stabilisé : il est équivalent avec une résistance connectée directement au générateur. Mais le circuit RL est intéressant à étudier quand le régime permanent (stable) n'est pas encore atteint.

Circuit RL série.

Circuit RL parallèle.
Circuit RL série

Circuit RL étudié lors de sa charge.
Étudions maintenant le circuit RL série

Vu qu'il s'agit d'un circuit série, la loi des nœuds nous donne :

I

i
l
(
t
)

i
r
(
t
)
{\displaystyle I=i_{l}(t)=i_{r}(t)}
On peut aussi remarquer qu'il n'y a qu'une seule maille dans le circuit, ce qui fait que la loi des mailles donne :

U

u
l
(
t
)
+
u
r
(
t
)
{\displaystyle U=u_{l}(t)+u_{r}(t)}
On peut calculer la tension aux bornes de la résistance avec la loi d'Ohm et celle aux bornes de la bobine par la loi
U
l

L
⋅
d
I
d
t
{\displaystyle U_{l}=L\cdot {\frac {dI}{dt}}}. On obtient l'équation différentielle suivante :

L
d
I
d
t
+
R
⋅
I

U
{\displaystyle L{\frac {dI}{dt}}+R\cdot I=U}
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec
τ

L
R
{\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}} :

I

U
R
(
1
−
e
−
t
τ
)
{\displaystyle I={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {t}{\tau }}}\right)}
On voit que cette équation est identique à celle de la charge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit RL parallèle
Dans le circuit RL parallèle, on a deux mailles : une qui passe par la résistance et une autre par la bobine. On a donc :

u
l
(
t
)
−
u
r
(
t
)

0
{\displaystyle u_{l}(t)-u_{r}(t)=0}
En utilisant les lois
U

R
⋅
I
{\displaystyle U=R\cdot I} et
U

L
⋅
d
I
d
t
{\displaystyle U=L\cdot {\frac {dI}{dt}}}, on obtient :

L
⋅
d
I
(
t
)
d
t
−
R
⋅
I
(
t
)

0
{\displaystyle L\cdot {\frac {dI(t)}{dt}}-R\cdot I(t)=0}
Les mathématiques nous disent que la solution d'une telle équation différentielle est la suivante, avec
τ

L
R
{\displaystyle \tau ={\frac {L}{R}}} :

I

U
R
⋅
e
−
t
τ
{\displaystyle I={\frac {U}{R}}\cdot e^{\frac {-t}{\tau }}}
Cette équation est identique à celle de la décharge d'un condensateur, si ce n'est que la valeur de la constante de temps change et que c'est l'intensité du courant dans la bobine qui est donnée par l'équation (et non la tension). On peut donc reprendre les figures et graphiques obtenus dans la section sur le circuit RC et les appliquer au circuit RL sans problème.

Circuit LC
Les circuits LC combinent un condensateur et une bobine, qui sont placés soit en série soit en parallèle.

Circuit LC série.

Circuit LC parallèle.