COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 Chapitre 2 Algebre de Boole et portes logiques 1) Introduction George Boole, mathematicien logicien est le fondateur de la logique moderne.Cas particulier : Il arrive parfois qu'une fonction soit indeterminee pour certaines combinaisons des variables, pour differentes raisons ; la plus courante est que certaines combinaisons des variables etant impossibles, on ne juge pas utile de donner une valeur particuliere a la fonction pour ces combinaisons-la.3) Fonction logique et variable binaire Une fonction logique est le resultat de la combinaison (logique combinatoire) d'une ou de plusieurs variables logiques reliees entre elles par des operations mathematiques booleennes bien definies : la valeur resultante de cette fonction depend de la valeur des variables logiques, et de toute facon cette resultante ne peut etre que 0 ou 1.Forme somme canonique : Une fonction logique est ecrite sous forme de somme canonique si toutes les variables figurent dans chaque terme et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliees entre elles par l'operateur Et. Par exemple, ??Forme produit canonique : Une fonction logique est ecrite sous forme de produit canonique si toutes les variables figurent dans chaque produit et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliees entre elles par l'operateur Ou. Par exemple, (??b = ab a b X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1 d) Operateur Ou (Or) Si deux variables logiques a et b sont combines par l'addition (Ou logique) alors le resultat X = a + b se traduit par le fait que : Si a et b sont a faux (= 0) alors X est a faux (= 0) sinon X est a vrai (= 1) Autrement dit, X est vrai si et seulement si au moins a ou b est vrai.Les travaux theoriques de Boole, trouveront des applications primordiales dans des domaines aussi divers que les systemes informatiques, les circuits electriques et telephoniques, l'automatisme, ... Les differentes fonctions logiques de base sont decrites sous cinq formes : ?Cette variable binaire se note par une lettre comme en algebre : a, b, A, B, C, F, x, ... Physiquement, cette variable peut correspondre a l'un des dispositifs cites ci-dessus dont les 2 etats representent les 2 valeurs possibles que peut prendre cette variable.Figure 1 : Chronogramme d'une fonction Et 7) Simplification des fonctions logiques La simplification d'une expression logique, consiste a reduire cette expression a sa forme la plus simple mais equivalente, c'est-a-dire a un nombre minimal de termes et a nombre minimal de variables par terme. b) Simplification par table de Karnaugh La simplification algebrique ne donne pas toujours necessairement la forme minimale de l'expression, pour cela on utilise souvent un outil graphique appele diagramme de Karnaugh qui permet de mettre une expression logique sous sa forme la plus simple possible.L'ordre des variables en abscisse et en ordonnee est choisi de telle sorte qu'entre deux cases voisines, il n'y a qu'une seule variable qui change de valeur (d'ou codage en code de Gray).+ ??) b) Table de verite Pour une fonction X = f (a, b, ...), une table de verite est un tableau qui donne la valeur de X suivant toutes les combinaisons possibles des variables a, b, ... Exemple : determiner X sachant le tableau suivant : a b c X 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 ISET BIZERTE 4 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 X = ??(?? + ?? ? ?? ? ?? + ?? ? ?? ? ??+ ?? . ?? ? ?? Remarque : Une table de verite donne alors l'expression de X sous la forme de somme canonique. c) Chronogramme Les variables binaires sont representees par un niveau de tension lorsqu'elles sont a 1.ISET BIZERTE 1 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 Table de verite :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a a X 0 0 1 1 b) Operateur Non (Not) La fonction Non est obtenue avec une seule variable.Le but de la logique booleenne est de traduire des idees et des concepts en equations, leur appliquer certaines lois et retraduire le resultat en termes logiques.L'ensemble des regles mathematiques qui pourront etre utilisees avec des variables ne pouvant prendre que 2 valeurs possibles s'appelle : l'Algebre de Boole. 2) Variable logique et variable binaire La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs reperees habituellement par 0 ou 1.Soient, par exemple, les deux tables de verites suivantes : a b X1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1 a b c X2 0 0 0 1 0 0 1 0 ISET BIZERTE 5 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 Completer les diagrammes de Karnaugh ci-dessous : ??Pour ces raisons, il est beaucoup plus avantageux de considerer un systeme mathematique n'utilisant que 2 valeurs numeriques (0 et 1) pour etudier le fonctionnement de ces dispositifs : c'est le systeme binaire.Table de verite :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a Ou b = a + b a b X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 e) Non-Ou (Nor) La fonction Nor est obtenue avec au moins deux variables.Lors du regroupement des cases nous transformons le en 0 ou en 1 suivant la convenance, suivant les simplifications qui peuvent en decouler.De nombreux dispositifs electroniques, electromecanique, (mecanique, electrique, pneumatique, ...) fonctionnent en Tout ou Rien, ils peuvent donc prendre 2 etats.Une fonction logique possede donc une ou des variables logiques d'entree et une seule variable logique de sortie.b se traduit par le fait que : Si a et b sont a vrai (=1) alors X est a vrai (=1) sinon X est a faux (= 0).Pour une fonction logique a N variables, on construit un tableau de 2N cases correspondant a toutes les combinaisons possibles des N variables.Cette fonction logique se note par une lettre comme en algebre.= ?????= ??+ ??= ????+ ????= ?????+ ??= ??+ ??.??= ??.??+ (?? + ??) = (??+ ??) + ??= ??+ ??+ ??.(?? . ??) = (??.??) .??= ??.??.??.(?? + ??) = ??.??+ ??.??+ (??.??) = (?? + ??) .+ ??= ??.??= ??+ ??.1 = ??, ??+ 0 = ??, ??.+ ??.??= ??.(?? + ??) = ??+ ????= ??+ ?? + ??) = ????= ??+ ??= ??????????????+ ????????+ ?????????+ ?? + ??) ?= ??.??+ ??????+ ??????, ??2 = (??+ ??)(??+ ??+ ??)??, ??3 = ????+ ????+ ????????????????????????????????+ ????????+ ????????, ??2 = (??+ ??+ ??)(??+ ??+ ??)(??+ ??+ ??) ?