لخّصلي

معادلة الخط المستقيم في المستوى الإحداثي

1. الصيغة العامة (القانوني)

Ax + By + C = 0

حيث A، B، C ثوابت حقيقية، و A و B غير صفرين معاً.

2. أشكال أخرى مشهورة للمعادلة

أ) الميل والمقطع (Slope-Intercept Form)

y = mx + b

· m: ميل الخط (slope).
· b: المقطع الصادي (y-intercept)، أي نقطة تقاطع الخط مع محور y.

ب) الميل والنقطة (Point-Slope Form)

y - y_1 = m(x - x_1)

حيث (x_1, y_1) نقطة معروفة على الخط، و m هو الميل.

ج) المقطعين (Intercept Form)

\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1

· a: المقطع السيني (x-intercept).
· b: المقطع الصادي (y-intercept).

د) الخط العمودي (Vertical Line)

x = c

ميله غير معرّف (لا يمكن كتابته بصيغة y = mx + b).

هـ) الخط الأفقي (Horizontal Line)

y = c

ميله يساوي صفر.

3. حساب الميل m

إذا كانت (x_1, y_1) و (x_2, y_2) نقطتين على الخط:

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

4. علاقة التوازي والتعامد

· خطان متوازيان: ميلهما متساوٍ: m_1 = m_2.
· خطان متعامدان: حاصل ضرب ميلهما = -1: m_1 \cdot m_2 = -1.

5. مثال تطبيقي

المعطيات: نقطتان A(1, 2) و B(3, 6).

1. 
   

   حساب الميل:
   m = \frac{6 - 2}{3 - 1} = \frac{4}{2} = 2

   
   


2. 
   

   معادلة الخط باستخدام صيغة الميل والنقطة:
   y - 2 = 2(x - 1)

   
   

   y = 2x

   
   


3. 
   

   كتابتها بالصيغة العامة:
   2x - y = 0

   
   

6. تمثيل المعادلة بيانياً

· حدد نقطتين (غالباً المقطعين السيني والصادي) أو استخدم الميل والمقطع.
· ارسم النقطتين ووصّلهما امتداداً.

7. ملاحظات مهمة

· الميل m يعطى بالعلاقة m = \tan \theta، حيث \theta زاوية ميل الخط مع الاتجاه الموجب لمحور x.
· إذا كان B = 0 في الصيغة العامة، يصبح الخط عمودياً.
· إذا كان A = 0 في الصيغة العامة، يصبح الخط أفقياً.

هل تريد شرحاً مفصلاً أكثر عن صيغة معينة، أم أمثلة إضافية؟