لخّصلي

• هي أي تجمع من الأشياء الحسية أو المعنوية المستقلة التي يمكن تميزها عن غيرها من الأشياء بشكل دقيق وقاطع لا يختلف فيه، وكل عنصر منها يعتبر كائن مستقل بذاته في المجموعة. مثال: لتكن لدينا المجموعتان التاليتان: مجموعة أحرف اللغة العربية مجموعة الحدائق الجميلة في المملكة ) نعتبر a) مجموعة لأن عناصرها معروفة ومحددة. أما بالنسبة للمجموعة b) فلا نعتبرها مجموعة رياضية لأنها غير معرفة بشكل محدد ودقيق لأن الجمال نسبي وليس دقيق ويتفاوت من حديقة الى حديقة أخرى • نرمز للمجموعات (تسميتها) عادة بالأحرف اللاتينية الكبيرة مثل A, • والأشياء التي تتألف منها المجموعات تسمى عناصر ويرمز للعناصر بالأحرف الصغيرة مثل a, يتم كتابة المجموعة بين قوسين بهذا الشكل (} وعناصر المجموعة تكتب داخل القوسين وتوضع فواصل بينها ، m} :على ذلك 3. طريقة القاعدة. 1 / طريقة السرد (الحصر): e, d مثال: A هي مجموعة الأعداد الطبيعية. • مثال: مجموعة أيام الأسبوع 3/ طريقة القاعدة: • يكون تسلسل العناصر له نمط ظاهر، بحيث يمكن التعبير عنها بقاعدة معينة. 4,6, X زوجي, • حيث هي مجموعة الأعداد الطبيعية. • وتقرأ A هي المجموعة المكونة من العناصر *، حيث أإن x عدد زوجي طبيعي أكبر من أو يساوي 2 وأصغر من أو يساوي 8. العلاقة بين العنصر والمجموعة a, c العنصر 8 ليس أحد عناصر المجموعة A يقال 8 لا ينتمي إلى المجموعة ونرمز له بالرمز (8 # A) المجموعة الجزئية • نقول ان A هي مجموعة جزئية من المجموعة B إذا كانت جميع عناصر المجموعة A موجودة في المجموعة B ونرمز A & B أي انها علاقة بين مجموعة ومجموعة أخرى، 2,3, 4,5} • وبالتالي A) A E B مجموعة جزئية من B) لأن جميع عناصر المجموعة A موجودة في B. 4,5}, 2,3, S • تدريب: C . c, e, f) A • • يقال للمجموعتين A وB متساويتين ونكتب A = B إذا كانت كل منهما مجموعة جزئية (محتواه) من الأخرى x,2, 9}, 5, 6,9 فإن قيمة x c/ 9 b/ 5 a/ 6 2/ مجموعة وحيدة العنصر: هي مجموعة مكونة من عنصر وحيد. 3/ المجموعة المنتهية: وهي المجموعة التي تحتوي عدد محدود من العناصر. 4/ المجموعة اللانهائية (الغير منتهية): وهي المجموعة التي تحتوي عدد غير محدود من العناصر. مثل: مجموعة الأعداد الطبيعة الزوجية.

تعريف المجموعة
• هي أي تجمع من الأشياء الحسية أو المعنوية المستقلة التي يمكن تميزها عن غيرها من الأشياء بشكل دقيق وقاطع لا يختلف فيه، وكل عنصر منها يعتبر كائن مستقل بذاته في المجموعة.
مثال: لتكن لدينا المجموعتان التاليتان:
مجموعة أحرف اللغة العربية
)مجموعة الحدائق الجميلة في المملكة )
أي منها تمثل مجموعة؟
الحل:
نعتبر a) مجموعة لأن عناصرها معروفة ومحددة.
أما بالنسبة للمجموعة b) فلا نعتبرها مجموعة رياضية لأنها غير معرفة بشكل محدد ودقيق لأن الجمال نسبي وليس دقيق ويتفاوت من حديقة الى حديقة أخرى
• نرمز للمجموعات (تسميتها) عادة بالأحرف اللاتينية الكبيرة مثل A,B,C,...,٧,Z
• والأشياء التي تتألف منها المجموعات تسمى عناصر ويرمز للعناصر بالأحرف الصغيرة مثل a,b,c,.٠.,٧,z.
طرق تعريف المجموعة
يتم كتابة المجموعة بين قوسين بهذا الشكل (} وعناصر المجموعة تكتب داخل القوسين وتوضع فواصل بينها ، مثال
A={2,a,3,5,7,b,s,m} :على ذلك
يعبر عن المجموعة بإحدى الطرق التالية:

1. طريقة السرد (الحصر).


2. طريقة الوصف.


3. طريقة القاعدة.
   1 / طريقة السرد (الحصر):
   • مثال: مجموعة الحروف المكونة لكلمة red هي: (A= {r,e, d
   • مثال: A مجموعة الاعداد الزوجية المحصورة بين 1 و9 هي: {A= (2,4,6,8
   مثال: A هي مجموعة الأعداد الطبيعية.
   {الخاصية أو الصفة :B = {x
   • مثال: مجموعة أيام الأسبوع
   { يوم من أيام الاسبوعB = {x: x
   3/ طريقة القاعدة:
   • يكون تسلسل العناصر له نمط ظاهر، بحيث يمكن التعبير عنها بقاعدة معينة.
   • مثال: المجموعة (A= [2,4,6,8 يمكن كتابتها بالقاعدة التالية:
   B= (X:X E N, X زوجي,
   • حيث هي مجموعة الأعداد الطبيعية.
   • وتقرأ A هي المجموعة المكونة من العناصر *، حيث أإن x عدد زوجي طبيعي أكبر من أو يساوي 2 وأصغر من أو يساوي 8.
   العلاقة بين العنصر والمجموعة
   • تكون العلاقة بين العنصر والمجموعة اما ينتمي بالرمز E أو لا ينتمي بالرمز مثال: المجموعة (A = {2, 4, 7, a, c
   العنصر 2 هو أحد عناصر المجموعة A يقال 2 ينتمي إلى المجموعة ونرمز له بالرمز (2 E A)
   العنصر 8 ليس أحد عناصر المجموعة A يقال 8 لا ينتمي إلى المجموعة ونرمز له بالرمز (8 # A)
   المجموعة الجزئية
   • نقول ان A هي مجموعة جزئية من المجموعة B إذا كانت جميع عناصر المجموعة A موجودة في المجموعة B
   ونرمز A & B أي انها علاقة بين مجموعة ومجموعة أخرى، ويمكن كتابتها رياضيا كالتالي:
   • إذا كانت AS B وA # B فنقول أن (A مجموعة جزئية فعلية من B) ونكتب AC B
   مثال: إذا كانت لدينا المجموعتين
   A = {1,2,3}, B = {1,2,3,4,5}
   • وبالتالي A) A E B مجموعة جزئية من B)
   لأن جميع عناصر المجموعة A موجودة في B.
   • ولكن B) B + A ليست مجموعة جزئية من A)
   لأنه يوجد عنصر واحد على الأقل في B ليس موجود في المجموعة A.
   2 € A
   مثال: إذا كانت {A= {1,2,3,4,5}, B={1,2
   اكتب العبارات التالية في الفراغ المناسب: # ,+ ,E, E, S
   1 € B
   مثال: إذا كانت {A= {1,2,3,4,5} , B= {1,2 اكتب العبارات التالية في الفراغ المناسب: * ,+ ,E, E, S
   2 EA

1 € B
6฿B

8 € A
{1,2,3} ≤ A

{1} ≤ B
{8,9} 또B

{6,7} # A
• تدريب:
A = {a, b, c, 4, d] , B = {a, b} إذا كانت •
اكتب العبارات التالية في الفراغ المناسب: # ,+ ,E, E, 5
a ... ...
A
b
C ... ...
B
e...........
{a, b} ............

{c, d}......
B

{e, f)
A •
تساوي مجموعتين
• يقال للمجموعتين A وB متساويتين ونكتب A = B إذا كانت كل منهما مجموعة جزئية (محتواه) من الأخرى
(B[AAEB) ا ان .
ABBA→(xA→x(B9x→xA
A = B →
مثال: إذا كانت {A = {1,2,3 و{B = {3,2, 1
B E Aو AE B لأن A = B فإن
أي أن المجموعة A والمجموعة B لهما العناصر نفسها، وترتيب العناصر في المجموعة غير مهم.
• تدريب:
إذا كانت A = B حيث إن {B= {5,x,2,9}, A = {2, 5,6,9
فإن قيمة x
d/ 2
c/ 9
b/ 5
a/ 6
أنواع المجموعات
1/ المجموعة الخالية: هي المجموعة التي لا تحتوي أي عنصر ويُرمز لها بالرمز ® أو { }.
مثال: مجموعة الاعداد الزوجية بين العددين 2.5 و 3.5
2/ مجموعة وحيدة العنصر: هي مجموعة مكونة من عنصر وحيد.
مثال: مجموعة الاعداد الزوجية التي هي أكبر من العدد 1 واقل من العدد 3.
3/ المجموعة المنتهية: وهي المجموعة التي تحتوي عدد محدود من العناصر.
مثلاً: أيام الأسبوع.
4/ المجموعة اللانهائية (الغير منتهية): وهي المجموعة التي تحتوي عدد غير محدود من العناصر.
مثل: مجموعة الأعداد الطبيعة الزوجية.
5/ المجموعة الشاملة: هي المجموعة التي تحتوي على جميع العناصر تحت الدراسة ويرمز لها ا.
• خصائص المجموعة الجزئية:
BEC→AE C
• 1/ Ø≤A≤ U
• 2/ AE A
• 3/ A≤ B .
العمليات على المجموعات
1 تقاطع المجموعتين A وB هي مجموعة جميع العناصر المشتركة بين A وB وتكتب كالتالي: A nB
ونعرفها رياضيا كما يلي :
ANB = {x: xEA s x E B}
ويمكن تمثيل ذلك بشكل فن حيث ا المجموعة الشاملة بالمستطيل والمجموعتين A و B بدوائر داخل المستطيل ويكون تقاطعهما المنطقة المظللة كما هو موضح بالشكل التالي:
AnB
A = (1,3,4,5}
مثال: إذا كانت {B = {2,4, 3 و
AnB اوجد
ANB = {3,4}
C = {10,30, m, K}
مثال: إذا كانت {D = {50,100و
CnD اوجد
CND = Ø
خصائص التقاطع:
1/ AnA = A
2/ ANU = A
3/ AnØ = Ø
4/ ANB = BAA
5/ (ANB) EA, (ANB) E B
6/ (ANB) nC = An (Bn C)