La theorie des courbes d'indifference a pour objet egalement d'expliquer comment le consommateur aboutit a l'equilibre, mais elle est basee sur la mesure ordinale de l'utilite.Px = 4 et py =10 Quelle est donc la quantite des biens x et y qui procure au consommateur le maximum d'utilite ?la droite EF a une inclinaison exprimee par la pente representee par le rapport des prix des bien :

-px py

-4 10

-1 2.5 Cette pente signifie que chaque fois que le consommateur renonce a une unite de y (en descendant le long de la droite), il epargne 10 DH, ce qui lui permet d'acheter 2.5 unites de x (2.5 x 4 = 10DH).Les relations qui existent entre ces paniers sont :

• XB < XC< XA< XD
• A ~B
• A ~ C
• YD >YA Comment ce consommateur va classer ces 4 paniers en se basant sur les axiomes de non saturation et de transitivite ?Si A ~B et B ~C on deduira que A ~C Illustration On suppose qu'un consommateur a le choix entre 4 paniers (ensembles ou complexes) contenant chacun des biens X et Y comme suit : A = (XA, YA) , B = (XB , YB) , C = (XC, YC) et D = (XD , YD).On suppose qu'un consommateur a le choix entre deux paniers A et B, chacun comprenant des biens X et Y comme suit : A = (XA, YA) , B = (XB , YB) XA : quantite de X que contient le panier A. YA : quantite de Y que contient le panier A. XB : quantite de X que contient le panier B. YB : quantite de Y que contient le panier B. L'ordre de preference de ces paniers depend donc des quantites des biens que chacun contient.dx + Umy .dy = 0 d'ou Umx Umy = -dy dx Comme on se deplace au long de la courbe d'indifference par la substitution, Le TMSxy est egal au rapport des utilites marginales des 2 biens consideres et donc a l'inverse du rapport de la variation des quantites.Au fur et a mesure que l'on descend au long de la courb,e la pente (qui est negative) devient de plus en plus faible, ce qui peut etre explique economiquement par l'etude du taux marginal de substitution (TMS).5 La droite de la contrainte budgetaire represente la serie de l'ensemble des combinaisons possibles de deux biens qu'un consommateur peut acheter compte tenu de son revenu et des prix fixes sur le marche Exemple.On reprend les donnees de l'exemple precedent en supposant un consommateur ayant une fonction d'utilite U= xy et un revenu R =400 destine a l'achat de deux bien x et y avec les prix : px= 4 et py= 10.En raisonnant a partir de la relation binaire superieur ou egal >= (prefere ou indifferent a), on peut avoir 3 genres de relations : X est plus grand, moins grand ou egal a Y. Dans cette situation de comparaison, 2 axiomes peuvent etre verifies : la non saturation et la transitivite.Ce taux est logiquement negatif car il y a substitution (augmentation d'un bien contre diminution de l'autre), on ajoute le signe (-) au rapport pour avoir une valeur positive.- Les courbes d'indifference sont decroissantes car une indifference entre deux combinaisons de x et y implique obligatoirement que l'augmentation de la quantite d'un bien est compensee par la diminution de la quantite de l'autre bien.Mathematiquement on peut calculer la valeur du TMS comme suit : TMSxy = -dy dx = Umx Umy dx , dy : variation des quantites x et y Demonstration : Tout courbe d'indifference correspond a un certain niveau d'utilite.La fonction de la droite budgetaire de ce consommateur s'ecrira donc ainsi : 400 = 4x + 10y Ce consommateur aura le choix d'acheter (100 x et 0 y), (0x et 40y) ou toute autre combinaison sur la droite EF. Comme : 400 = 4x + 10y, Si x=0 : y = 100.Le deplacement au long de la courbe d'indifference signifie economiquement le remplacement d'un bien par un autre et se mesure par la pente de cette courbe indiquee par le taux marginal de substitution (TMS).4 Definition : le TMS x pour y (TMSxy) est un ratio qui designe la quantite du bien Y que le consommateur est pret a ceder pour obtenir une unite supplementaire du bien X, tout en restant sur la meme courbe d'indifference.La courbe d'indifference est le lieu geometrique de l'ensemble des points representant la totalite des combinaisons possibles des bien x et y qui donnent au consommateur le meme niveau d'utilite.Si A est equivalent (donnant le meme niveau d'utilite) a B, et B est equivalent a C, on conclura que A est equivalent a C. Dans ce cas les 3 paniers A, B et C seront situes sur la meme courbe d'indifference.y (50 .y) = 20 50 = 4 10 Donc TMSxy = -dy dx = px dy. A l'equilibre on a Umx Umy = = px py , ce qui nous ramene a la loi de l'egalisation des utilites marginales.Courbe d'indifference1 (CI1) Courbe d'indifference2 (CI2) Qx Qy TMSxy -dy/dx Qx Qy TMSxy -dy/dx 1 10 ---- 2 12 ---- 2 6 4 3 7 5 3 3 3 4 4 3 4 1 2 5 2 2 5 0.5 0.5 6 1 1 On remarque que plus le consommateur descend le long de la courbe d'indifference, plus le TMS diminue.R = x px + y py. On suppose qu'un consommateur a un revenu de 400 et qui veut acheter 2 biens, x dont le prix est de 4 et y dont le prix est de 10.Pente de la droite budgetaire est - px py -4 10 , cherchons la pente de la courbe d'indifference au point de tangence S.

dy dx = Umx Umy

U?Ainsi le consommateur etablit un ordre de preferences entre les paniers a choisir selon la quantite des biens de chaque panier.Il a donc une contrainte qui peut etre schematisee sous forme d'une droite qu'on appelle la droite budgetaire (ou la droite de la contrainte budgetaire).400 = 4x + 10y donc 10y = 400 - 4x d'ou y = 400-4x 10 = 40 - 2 5 x On remplace y par sa valeur dans la fonction d'utilite : U = xy = x (40 - 2 5 x) = 40x - 2 5 x 2 On calcule et on annule la derivee premiere de U : U?S'il y a intersection de deux courbes (point C) ca signifierait que deux courbes correspondent a un meme niveau d'utilite, ce qui est impossible.Ces 4 paniers seront donc situes sur 2 courbes d'indifferences : A, B et C sur la premiere courbe et D sur la deuxieme qui est la plus a droite.Et tout point situe au-dessous de la droite EF, signifie que le consommateur depense moins que son revenu.On suppose que U1 = xy. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 0 20 40 60 80 100 120 Y X Droite de la contraine budgetaire E F 6 La droite budgetaire est ainsi tangente a la courbe d'indifference U1 au point S. Le point S a les coordonnees X = 50 et Y = 20.Pour trouver la combinaison optimale, on doit resoudre la fonction de Lagrange en calculant la derivee premiere par rapport a x, y et ?et en faisant le lien entre les 3 fonctions qu'on aura suite a la derivation de la fonction de Lagrange.Donc UI = xy = 50 x 20 = 1000.?10 ?

La théorie des courbes d’indifférence a pour objet également d’expliquer comment le
consommateur aboutit à l’équilibre, mais elle est basée sur la mesure ordinale de l’utilité. Ainsi
le consommateur établit un ordre de préférences entre les paniers à choisir selon la quantité des
biens de chaque panier. Ces préférences sont indiquées dans la courbe d’indifférence dont
l’intersection avec la droite du budget donne le point d’équilibre.
I- Définition.
La courbe d’indifférence est le lieu géométrique de l’ensemble des points représentant la totalité
des combinaisons possibles des bien x et y qui donnent au consommateur le même niveau
d’utilité.
Plus la courbe d’indifférence bouge vers la droite (ou plus haut) plus elle représente un niveau
d’utilité supérieur.
Exemple
Courbed’indifférence2
(CI2)
Qx Qy
2 12
3 7
4 4
5 2
6 1
II- Caractéristiques des courbes d’indifférence.

• Les courbes d’indifférence sont décroissantes car une indifférence entre deux
  combinaisons de x et y implique obligatoirement que l’augmentation de la quantité d’un
  bien est compensée par la diminution de la quantité de l’autre bien.
  0
  2
  4
  6
  8
  10
  12
  14
  0 1 2 3 4 5 6 7
  Qy
  Qx
  Courbes d'indifférence
  CI 1
  CI 2
  Courbed’indifférence1
  (CI1)
  Qx Qy
  1 10
  2 6
  3 3
  4 1
  5 05
  2


• Les courbes d’indifférence vérifient l’axiome de la non saturation. Le consommateur a
  toujours préférence pour plus de quantités des biens. La courbe d’indifférence qui est
  située à droite représente toujours une utilité plus grande que celle placée à gauche.


• Les courbes d’indifférence sont convexes par rapport à l’origine des axes. Au fur et à
  mesure que l’on descend au long de la courb,e la pente (qui est négative) devient de plus
  en plus faible, ce qui peut être expliqué économiquement par l’étude du taux marginal
  de substitution (TMS).


• Deux courbes ne se coupent jamais. Car chaque courbe indique un niveau particulier
  d’utilité. S’il y a intersection de deux courbes (point C) ça signifierait que deux courbes
  correspondent à un même niveau d’utilité, ce qui est impossible.
  Qy
  B
  A

C

0 Qx
III- Choix préférentiel et axiomes de non saturation et de transitivité.
On suppose qu’un consommateur a le choix entre deux paniers A et B, chacun comprenant
des biens X et Y comme suit :
A = (XA, YA) , B = (XB , YB)
XA : quantité de X que contient le panier A. YA : quantité de Y que contient le panier A.
XB : quantité de X que contient le panier B. YB : quantité de Y que contient le panier B.
L’ordre de préférence de ces paniers dépend donc des quantités des biens que chacun contient.
En raisonnant à partir de la relation binaire supérieur ou égal ≥ (préféré ou indifférent à), on
peut avoir 3 genres de relations : X est plus grand, moins grand ou égal à Y. Dans cette
situation de comparaison, 2 axiomes peuvent être vérifiés : la non saturation et la transitivité.
1- Axiome de non saturation. Le consommateur a toujours préférence d’avoir la plus
grande quantité possible.
Pour A = (XA, YA) et B = (XB , YB)
-Si XA ≥ XB et YA ≥ YB on aura comme déduction A ≥ B et inversement.
3
-Si XA > XB et YA < YB ou inversement A et B peuvent être situés sur la même courbe
d’indifférence.

• Si XA = XB et YA = YB , A et B sont confondus.
  2- Axiome de transitivité.
  Si A est équivalent (donnant le même niveau d’utilité) à B, et B est équivalent à C, on conclura
  que A est équivalent à C. Dans ce cas les 3 paniers A, B et C seront situés sur la même courbe
  d’indifférence.
  Si A ~B et B ~C on déduira que A ~C
  Illustration
  On suppose qu’un consommateur a le choix entre 4 paniers (ensembles ou complexes)
  contenant chacun des biens X et Y comme suit :
  A = (XA, YA) , B = (XB , YB) , C = (XC, YC) et D = (XD , YD).
  Les relations qui existent entre ces paniers sont :


• XB < XC< XA< XD


• A ~B


• A ~ C


• YD >YA
  Comment ce consommateur va classer ces 4 paniers en se basant sur les axiomes de non
  saturation et de transitivité ?
  Réponse :
  On a - A ~B et B ~ C donc B ~ C (axiome de transitivité)


• YD >YA et XD >XA donc D > A (axiome de non saturation).
  Résultat final : D > A ~ B ~ C .
  Ainsi le panier D est supérieur aux 3 autres paniers A, B et C (qui sont indifférents l’un à
  l’autre). Ces 4 paniers seront donc situés sur 2 courbes d’indifférences : A, B et C sur la
  première courbe et D sur la deuxième qui est la plus à droite.
  IV - L’équilibre géométrique.
  La détermination de l’équilibre géomatique peut être obtenu à travers l’intersection de la courbe
  d’indifférence avec la droite budgétaire.
  1- Déplacement de la courbe d’indifférence ou le TMS.
  Le déplacement au long de la courbe d’indifférence signifie économiquement le remplacement
  d’un bien par un autre et se mesure par la pente de cette courbe indiquée par le taux marginal
  de substitution (TMS).
  4
  Définition : le TMS x pour y (TMSxy) est un ratio qui désigne la quantité du bien Y que le
  consommateur est prêt à céder pour obtenir une unité supplémentaire du bien X, tout en
  restant sur la même courbe d’indifférence.
  Illustration. On reprend les données de l’exemple précèdent et on calcule le TMSxy.
  Courbe d’indifférence1 (CI1) Courbe d’indifférence2 (CI2)
  Qx Qy TMSxy
  -dy/dx
  Qx Qy TMSxy
  -dy/dx
  1 10 ---- 2 12 ----
  2 6 4 3 7 5
  3 3 3 4 4 3
  4 1 2 5 2 2
  5 0.5 0.5 6 1 1
  On remarque que plus le consommateur descend le long de la courbe d’indifférence, plus le
  TMS diminue. Ce taux est logiquement négatif car il y a substitution (augmentation d’un bien
  contre diminution de l’autre), on ajoute le signe (-) au rapport pour avoir une valeur positive.
  Mathématiquement on peut calculer la valeur du TMS comme suit :
  TMSxy =
  −dy
  dx =
  Umx
  Umy
  dx , dy : variation des quantités x et y
  Démonstration :
  Tout courbe d’indifférence correspond à un certain niveau d’utilité.
  On a donc U = f (x,y) = K .
  K représente un niveau d’utilité identique pour tout point de la courbe, il s’agit d’une constante.
  Donc Uʹ = 0
  D’où Uʹ = 0 = f ʹx dx + f ʹy dy. f ʹx, f ʹy étant les utilités marginale de x et y.
  Et comme f ʹx et f ʹy sont les dérivées de la fonction d’utilité U, on aura :
  Uʹ = f ʹx dx + f ʹy dy = Umx . dx + Umy .dy = 0 d’où Umx
  Umy
  =
  −dy
  dx
  Comme on se déplace au long de la courbe d’indifférence par la substitution, Le TMSxy est
  égal au rapport des utilités marginales des 2 biens considérés et donc à l’inverse du rapport de
  la variation des quantités.
  Le rapport dy/dx exprime la pente de la courbe d’indifférence passant par 2 points de la courbe.
  2- Déplacement de la droite de la contrainte budgétaire.
  Selon l’axiome de non saturation, le consommateur désire avoir le maximum possible de
  quantité des biens. Or, il dispose d’un revenu limité et doit accepter des prix fixés sur le marché.
  Il a donc une contrainte qui peut être schématisée sous forme d’une droite qu’on appelle la
  droite budgétaire (ou la droite de la contrainte budgétaire).
  5
  La droite de la contrainte budgétaire représente la série de l’ensemble des combinaisons
  possibles de deux biens qu’un consommateur peut acheter compte tenu de son revenu et des
  prix fixés sur le marché
  Exemple.
  R = x px + y py.
  On suppose qu’un consommateur a un revenu de 400 et qui veut acheter 2 biens, x dont le
  prix est de 4 et y dont le prix est de 10.
  La fonction de la droite budgétaire de ce consommateur s’écrira donc ainsi :
  400 = 4x + 10y
  Ce consommateur aura le choix d’acheter (100 x et 0 y), (0x et 40y) ou toute autre combinaison
  sur la droite EF.
  Comme : 400 = 4x + 10y,
  Si x=0 : y = 100.
  Si y = 0 : x = 40.
  Tout point situé au-dessus de la droite
  EF, signifie que le consommateur
  dépense plus que son revenu. Et tout
  point situé au-dessous de la droite EF,
  signifie que le consommateur dépense
  moins que son revenu.
  la droite EF a une inclinaison exprimée par la pente représentée par le rapport des prix des
  bien :

−px
py

−4
10

−1
2.5
Cette pente signifie que chaque fois que le consommateur renonce à une unité de y (en
descendant le long de la droite), il épargne 10 DH, ce qui lui permet d’acheter 2.5 unités de x
(2.5 x 4 = 10DH).
3- Détermination de l’équilibre.
On suppose que le consommateur a plusieurs courbes d’indifférence U1, U2, U3 et d’un revenu
R= 400 avec px = 4 et py = 10.
L’équilibre du consommateur sera défini par rapport au point de tangence de la droite
budgétaire avec la courbe d’indifférence la plus à droite.
On suppose que U1 = xy.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
0 20 40 60 80 100 120
Y
X
Droite de la contraine
budgétaire
E
F
6
La droite budgétaire est ainsi tangente à la courbe d’indifférence U1 au point S.
Le point S a les coordonnées X = 50 et Y = 20. Donc UI = xy = 50 x 20 = 1000.
Au point d’équilibre la pente de la droite budgétaire doit être la même que celle de la courbe
d’indifférence.
Pente de la droite budgétaire est −
px
py
−4
10
, cherchons la pente de la courbe d’indifférence au point
de tangence S.
−
dy
dx =
Umx
Umy

Uʹ x (xy)
Uʹy (xy)

Uʹ x (x .20)
Uʹ y (50 .y)

20
50

4
10
Donc TMSxy =
−dy
dx =
px
dy. A l’équilibre on a 𝐔𝐦𝐱
𝐔𝐦𝐲
= =
𝐩𝐱
𝐩𝐲
, ce qui nous ramène à la loi de
l’égalisation des utilités marginales.
V- L’équilibre mathématique.
L’équilibre du consommateur peut être déterminé mathématiquement par plusieurs méthodes
dont principalement la méthode de la dérivation – substitution et la méthode dite de Lagrange.
1- Méthode de dérivation – substitution.
On reprend les données de l’exemple précèdent en supposant un consommateur ayant une
fonction d’utilité U= xy et un revenu R =400 destiné à l’achat de deux bien x et y avec les prix :
px= 4 et py= 10.
Question : Déterminer la combinaison de x et y qui procure à ce consommateur le
maximum de satisfaction à partir de son revenu de 400 ?
Réponse : On a à résoudre le système suivant :
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
20 40 60 80 100 120
Y
X
L'optimum
E
F
U1
X
U3
Y
U2
S
7
(1) U = xy
(2) R = 400 + 4x + 10y.
On exprime y par rapport à x dans l’équation (2).
400 = 4x + 10y donc 10y = 400 - 4x d’où y = 𝟒𝟎𝟎−𝟒𝐱
𝟏𝟎
= 40 -
𝟐
𝟓
x
On remplace y par sa valeur dans la fonction d’utilité :
U = xy = x (40 -
2
5
x) = 40x -
2
5
x
2
On calcule et on annule la dérivée première de U : Uʹ = 40 -
4
5
x = 0
On calcule x : 40 -
4
5
x = 0 donc
4
5
x = 40 d’où x = 50
On revient à l’équation de la contrainte budgétaire pour calculer y.
400 = 4x + 10y donc 400 = 4 (50) +10y = 200 + 10y d’où y = 20.
La combinaison optimale (qui réalise le maximum d’utilité pour le consommateur) est donc :
(50 , 20)
L’utilité maximale serait donc U = xy = 50 .20 = 1000.
2- Méthode de Lagrange.
Cette méthode se base sur la fonction de Lagrange (£) qui introduit un coefficient (λ) appelé
multiplicateur de Lagrange.
Pour un système U = xy
R = x px + y py.
La fonction de Lagrange sera : £(x,y, λ) = f(x , y) + λ (R- x px – y py)
f(x , y) représente la fonction d’utilité, λ est le multiplicateur de Lagrange (λ=
ΔU
ΔR
),
et (R- x px – y py) représente l’équation de la contrainte budgétaire.
Pour trouver la combinaison optimale, on doit résoudre la fonction de Lagrange en calculant la
dérivée première par rapport à x, y et λ et en faisant le lien entre les 3 fonctions qu’on aura suite
à la dérivation de la fonction de Lagrange.
Illustration.
On reprendra les mêmes données qu’on a utilisé dans la méthode de dérivation – substitution.
U = xy fonction d’utilité U = xy
R = 400 + 4x + 10y. Revenu du consommateur : 400. Px = 4 et py =10
Quelle est donc la quantité des biens x et y qui procure au consommateur le maximum d’utilité ?
8
On établit la fonction de Lagrange.
£(x,y, λ) = f(x , y) + λ (R- x px – y py)
£(x,y, λ) = xy + λ (400- 4x – 10y )
£(x,y, λ) = xy + λ 400 - λ 4x – λ 10y
On dérive et on annule cette fonction par rapport à x, à y et à λ.

• £ ʹ x(x,y, λ) = y – 4 λ = 0 : y = 4 λ (1)


• £ʹ y(x,y, λ) = x – 10 λ =0 : x = 10 λ (2)


• £ ʹ λ (x,y, λ) = 400 - 4x – 10y =0 (3)
  On met
  (1)
  (2)
  , on aura
  y
  x
  =
  4 λ
  10 λ
  =
  2
  5
  donc x = 2.5 y
  On remplace la valeur de x par rapport à y (x = 2.5 y) dans l’équation (3) :
  400 – 4x – 10y = 0
  400 – 4 (2.5y) – 10y = 0
  400 – 20 y = 0 donc y = 20 et x = 50.
  La combinaison optimale est donc (50 , 20)