لخّصلي

لتكن R مجموعة غير خالية، ولتكن (+) و (.) عمليتان جبريتان ثنائيتان معرفتين على R. تُشكل الثلاثية (R, +, .) حلقة إذا وفقط إذا كانت (R, +) زمرة إبدالية، و (R, .) شبه زمرة، وكانت العملية (.) توزيعية على (+) من اليمين واليسار (أي a.(b+c) = a.b + a.c و (b+c).a = b.a + c.a لكل a, b, c ∈ R). إذا كانت (.) عملية إبدالية على R، فتُسمى الحلقة (R, +, .) حلقة إبدالية. وإذا وجد في R عنصر محايد بالنسبة لـ (.) (وهو عنصر وحيد يُرمز له بـ 1 حيث 1.a = a.1 = a لكل a ∈ R)، فتُسمى الحلقة (R, +, .) حلقة واحدية أو حلقة ذات عنصر وحدة أو حلقة بمحايد.

لتكن R ما غير خالية ، ولتكن (+)و(.)عمليتين جبريتين ثنائيتين معرفتين على R . نقول عن الثلاثية ( . , + , R ) إنها حلقة بالنسبة للعمليتين ( + ) و ( . ) إذا تحققت الشروط التالية :
1 - ( + , R ) زمرة إبدالية .
2 - ( . , R ) شبة زمرة ( نصف زمرة ) .
3 - العملية ( . ) توزيعية على العملية ( + ) من اليمين واليسار .
أو بكلام آخر ترتبط العمليتان ( + ) و ( . ) فيما بينها بعملية توزيع الضرب على الجمع من الطرفين وهذا يعني :
من أجل أي a,b,c من R فإن :
a.( b+c )= a.b+a.c
b.a+c.a=a.(b+c)
إذا كانت العملية ( . ) بالإضافة إلى الشروط السابقة عملية إبدالية على عناصر المجموعة R فإننا نقول إن الحلقة ( . , + , R ) هي حلقة إبدالية إذا وجد في المجموعة R عنصر محايد بالنسبة لعملية ( . ) ( هذا العنصر وحيد ) فإننا نقول عن هذا العنصر إنه عنصر وحة في الحلقة ( . , + , R ) وسنرمز له بالرمز 1 أي أن : لكل a∈R فإن 1.a = 1.a .
ونقول في هذه الحالة إن الحلقة ( . ، + , R ) حلقة واحدية أو حلقة ذات عنصر وحدة أو حلقة بمحايد .