لخّصلي

Annexe 3 : Géométrie et mouvement

L'approche moderne des mathématiques, en supprimant la référence à la signification des variables, gagne en généralité. Cependant, la variable "temps" et sa dimension dynamique pourraient améliorer l'enseignement de concepts d'analyse et de géométrie. Notre familiarité avec le mouvement, notamment l'accélération ressentie en voiture, facilite la compréhension intuitive de la vitesse, de l'accélération et, par extension, de la dérivée. Même pour des objets statiques comme une courbe, une approche dynamique, la percevant comme une trace de mouvement (cf. Kandinsky), enrichit la compréhension. En analyse, voir les courbes comme des tracés dynamiques renforce le lien avec la géométrie, clarifie la notion de fonction (tracé ne revenant pas en arrière), et permet une approche intuitive de la continuité et de sa relation avec la dérivabilité. L'intuition, commune jusqu'au 19e siècle, que les courbes sont essentiellement lisses (possédant suffisamment de dérivées), constitue une base pédagogique avant l'apprentissage formel, même si des exceptions existent. Un exercice aussi important que le tracé à partir d'une formule est la description analytique d'un objet donné graphiquement, favorisant l'interaction figure/description analytique. En géométrie, la notion de solide se définit par le mouvement sans altération des distances entre points. Visualiser les changements de repère ou les transformations géométriques s'appuie sur un mouvement implicite, plus concret que le changement abstrait de coordonnées. La symétrie plane, par exemple, se comprend dynamiquement via une rotation spatiale, complétant l'approche par pliage. De même, la notion de surface se construit dynamiquement à partir du mouvement d'une courbe ; l'analyse des changements de formes par section ou balayage est à la base de la théorie de Morse. En conclusion, une perspective dynamique, avec ou sans référence explicite au temps, éclaire les relations entre figures et facilite la compréhension de notions initialement définies statiquement.

Annexe 3

G ́eom ́etrie : l’apport du mouvement

Dans la conception moderne des math ́ematiques, la notion de fonction ne fait
plus r ́ef ́erence a la signification de la variable. Bien entendu, il s’agit la d’un
gain dans la g ́en ́eralit ́e puisqu’on peut traiter de la mˆeme fa ̧con des problemes dont la signification est totalement diff ́erente. Cependant, la variable “temps”, avec les conceptions dynamiques qu’elle permet, pourrait sans doute jouer un rˆole p ́edagogique plus important dans l’approche d’un certain nombre de notions d’analyse ou de g ́eom ́etrie. Dans notre soci ́et ́e ou les moyens de transport sont tres d ́evelopp ́es, l’intuition du mouvement est largement partag ́ee par tous. Par exemple, des qu’on voyage
aux places arriere d’une voiture, on a une perception tres claire de la direction du
vecteur acc ́el ́eration. On peut donc s’appuyer sur cette familiarit ́e, en cin ́ematique,
pour construire les notions de vitesse et d’acc ́el ́eration. En ́echange, ces notions
menent a une conception plus intuitive de la notion de d ́eriv ́ee.
Ind ́ependamment de ce domaine qui releve directement du mouvement, une exploration dynamique d’un objet statique peut aussi aider a sa compr ́ehension.
Ainsi, mˆeme pour un peintre, une courbe plane, objet a priori statique, peut ˆetre
ressentie comme la trace d’un mouvement, cf. [Kan] : La ligne g ́eom ́etrique est un
ˆetre invisible, elle est la trace du point en mouvement, donc son produit.
En analyse, le fait de regarder les courbes comme pouvant ˆetre la trace d’un
mouvement est une maniere naturelle de renforcer le lien avec g ́eom ́etrie. Cela permet, par exemple, de faire comprendre un graphe de fonction comme un trac ́e particulier, qui “ne revient pas en arriere”.
Cela permet aussi de donner une notion intuitive de continuit ́e et d’explorer son

lien avec la d ́erivabilit ́e. Le mouvement du trac ́e sert de support a l’intuition (com- mun ́ement admise jusqu’au 19eme siecle) que “toutes les courbes sont (essentielle- ment) lisses” (c’est-a-dire poss`edent assez de d ́eriv ́ees), les angles et les sauts, qui

n ́ecessitent un trac ́e d ́elib ́er ́e, ne pouvant ˆetre qu’exceptionnels. Bien entendu, on
sait maintenant qu’il existe des fonctions continues nulle part d ́erivables, mais,
au niveau de l’enseignement secondaire, il n’y a aucun inconv ́enient `a s’appuyer
sur l’intuition contraire.(1

) Cette intuition et les ph ́enomenes g ́eom ́etriques qui l’accompagnent (nous pensons notamment au th ́eoreme des valeurs interm ́ediaires)
constituent sans doute un point de passage oblig ́e avant tout apprentissage formel
de la notion de continuit ́e.
Dans cette optique d’interpr ́etation de trac ́es, un type d’exercice nous semble au
moins aussi important et formateur que l’exercice standard de trac ́e d’un objet
(
1

) Evidemment, l’enseignant, lui, doit maˆıtriser les notions math ́ematiques sous-
jacentes.

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d ́efini par une formule, c’est la description par une ou des formules d’un objet
donn ́e graphiquement. En effet, cet exercice instaure un va-et-vient entre figure
et description analytique qui est au centre d’un enseignement “g ́eom ́etrique” de
l’analyse.
En g ́eom ́etrie aussi, la notion de mouvement est tres utile. D’abord, la notion mˆeme de solide peut s’exprimer en termes de mouvement : un solide est un objet qui peut ˆetre d ́eplac ́e sans changer les distances s ́eparant ses points. Ensuite, pour visualiser un changement de repere ou une transformation du
plan ou de l’espace, on fait r ́ef ́erence a un mouvement implicite, plutˆot qu’a
un changement abstrait de coordonn ́ees. C’est vrai d ́eja en g ́eom ́etrie plane ́el ́ementaire ou “l’ ́egalit ́e” (directe) de figures correspond a un d ́eplacement. On peut aussi comprendre de maniere dynamique la sym ́etrie plane par rapport a une droite (qui est un antid ́eplacement) a partir de la rotation dans l’espace du plan
de la figure. Cette vision, a cˆot ́e de l’image usuelle par pliage ou miroir, permet de mieux saisir les difficult ́es li ́ees a l’orientation du plan. Ce n’est que bien plus
tard que la notion d’isotopie formalisera cette d ́emarche dynamique.
La notion de surface est elle aussi justiciable d’une g ́en ́eration dynamique a partir du mouvement d’une courbe. Faire diminuer ou augmenter la dimension par section ou balayage est une d ́emarche naturelle pour les g ́eometres et l’analyse
des changements de formes qui peuvent ˆetre ainsi mis en ́evidence est d’ailleurs
la base de la th ́eorie de Morse. A un niveau plus ́el ́ementaire, les ́eleves de college peuvent observer non seulement une section d’un solide mais une suite de sections par des plans paralleles.
Ces quelques exemples montrent qu’un point de vue dynamique (avec une r ́ef ́erence
explicite ou non au temps) permet souvent de mieux comprendre les relations qui
existent entre deux figures ainsi que des notions dont la d ́efinition formelle est
statique.
[Kan] V. Kandinsky. Punkt und Linie zu Fl ̈ache (1926). Traduction fran ̧caise :
Point et ligne sur plan. Deno ̈el