Chapitre 2: Séries statistiques à une variable

Ce chapitre explore les séries statistiques à une seule variable, en se concentrant sur les méthodes de recensement et de présentation des données. Il aborde également le calcul d'indicateurs statistiques pour résumer et analyser les données.

2.1 Effectifs et fréquences

Le premier pas en statistique est de compter le nombre d'individus correspondant à une modalité spécifique d'un caractère. À chaque modalité est associé un effectif ou une fréquence.

2.1.1 Caractère qualitatif - Caractère quantitatif discret

• Effectif (ni): Nombre d'individus présentant la modalité xi.
• Fréquence (fi): Proportion d'individus présentant la modalité xi, calculée comme le rapport entre l'effectif ni et l'effectif total n. La somme des fréquences est toujours égale à 1.
• Pourcentage (pi): Produit de la fréquence fi par 100%.

Pour un caractère quantitatif discret, on utilise également des concepts d'effectifs et de fréquences cumulés croissants et décroissants.

2.1.2 Caractère quantitatif continu

Pour une variable continue, les valeurs sont regroupées en intervalles (classes) avec une borne inférieure (ei) et une borne supérieure (ei+1).

• Amplitude de la classe: Différence entre les bornes (ai = ei+1 – ei).
• Centre de la classe: Moyenne des bornes (ci = (ei + ei+1) / 2).
• Effectif de la classe: Nombre de valeurs comprises dans la classe (ni).
• Fréquence de la classe: Rapport entre l'effectif ni et l'effectif total n.

Le nombre de classes est déterminé par des règles empiriques comme celles de Sturges ou de Yule.

2.2 Tableaux statistiques

Les tableaux statistiques résument les données brutes sous forme de tableaux faciles à comprendre. Ils peuvent présenter les couples (xi, ni) ou (xi, fi).

2.3 Représentations graphiques

Les représentations graphiques illustrent visuellement les données des tableaux statistiques. On distingue les diagrammes différentiels, basés sur les effectifs ou les fréquences, et les diagrammes cumulatifs, basés sur les effectifs ou les fréquences cumulés.

2.3.1 Diagrammes différentiels

Ces diagrammes mettent en évidence les différences d'effectifs ou de fréquences entre les modalités.

• Données qualitatives: Diagrammes en barres et diagrammes en secteurs.
• Données quantitatives: Diagrammes en bâtons, polygones des effectifs ou des fréquences, histogrammes et polygones des effectifs ou des fréquences pour les variables continues.

2.3.2 Diagrammes cumulatifs

Ces diagrammes visualisent l'évolution des effectifs ou des fréquences cumulés croissants ou décroissants.

• Variable discrète: Courbe en escalier.
• Variable continue: Polygone des effectifs cumulés croissants ou décroissants.

2.4 Indicateurs statistiques

Ces indicateurs résument quantitativement les données d'une distribution.

2.4.1 Caractéristiques de tendance centrale et de position

Ces indicateurs donnent une idée de la valeur centrale autour de laquelle les données se regroupent.

• Moyenne arithmétique pondérée: Moyenne des valeurs pondérées par leur effectif.
• Mode: Valeur correspondant à l'effectif ou à la fréquence la plus élevée.
• Médiane: Valeur qui divise la série ordonnée en deux parties égales.
• Quantiles: Valeurs qui divisent la série ordonnée en k parties égales (quartiles, déciles, centiles).

2.4.2 Caractéristiques de dispersion

Ces indicateurs mesurent la dispersion des données autour de la valeur centrale.

• Variance: Moyenne des carrés des écarts à la moyenne.
• Écart-type: Racine carrée de la variance.
• Coefficient de variation: Rapport entre l'écart-type et la moyenne.
• Étendue: Différence entre la plus grande et la plus petite valeur.
• Écart interquartile: Différence entre le troisième et le premier quartile.
• Écart interdécile: Différence entre le neuvième et le premier décile.

2.4.3 Caractéristiques de forme

Ces indicateurs caractérisent la symétrie ou l'asymétrie de la distribution, ainsi que son aplatissement.

• Coefficient d'asymétrie de Fisher: Indique la symétrie ou l'asymétrie de la distribution.
• Coefficient d'aplatissement de Fisher: Indique l'aplatissement de la distribution.

En résumé, ce chapitre fournit les outils et les concepts fondamentaux pour comprendre et analyser les données statistiques à une seule variable, en utilisant des tableaux, des graphiques et des indicateurs statistiques.

Chapitre 2 SÉRIES STATISTIQUES À UNE VARIABLE
Une des premières opérations de la statistique consiste à recenser le nombre (ou le
pourcentage) d’individus qui correspondent à une modalité déterminée du caractère. Ainsi,
à chaque modalité est associé un effectif (ou une fréquence).
2.1 EFFECTIFS ET FRÉQUENCES
2.1.1 Caractère qualitatif - Caractère quantitatif discret
Soit une population statistique composée de n individus, décrite selon le caractère X
pouvant être soit qualitatif soit quantitatif discret, dont les k modalités sont x1, x2, ..., xk.
On appelle :
 effectif ni associé à la modalité xi le nombre d’individus de la population présentant la
modalité xi
.
L’effectif total n de la population est alors : n =

k
i 1
ni
 fréquence fi associée à la modalité xi la proportion d’individus de la population
présentant la modalité xi. On la définit comme le rapport de l’effectif ni à l’effectif total n
de la population : fi = n
ni
On notera que : 

k
i 1
if = 1.
 pourcentage pi associé à la modalité xi le produit : pi = fi ×100%.
De plus, dans le cas d’un caractère quantitatif discret X, on appelle :
 effectif cumulé croissant associé à la valeur xi la somme des effectifs associés aux
valeurs inférieures ou égales à xi, soit : 

i
j 1
nj
 effectif cumulé décroissant associé à la valeur xi le nombre : n – 


i 1
j 1
nj
 fréquence cumulée croissante associée à la valeur xi la somme des fréquences associées
aux valeurs inférieures ou égales à xi, soit : 

i
j 1
j f
 fréquence cumulée décroissante associée à la valeur xi le nombre : 1 – 


i 1
j 1
j f
6 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
2.1.2 Caractère quantitatif continu
Dans le cas d’une variable statistique continue, on regroupe les différentes valeurs de la
variable en intervalles ou classes [ei, ei+1[ ; ei est la borne inférieure de la classe, ei+1 est la
borne supérieure de la classe. Ainsi, on appelle :
 amplitude de la classe [ei, ei+1[, la différence ai = ei+1 – ei (i.e. longueur de l’intervalle)
 centre de la classe [ei, ei+1[, la quantité ci = (ei + ei+1) / 2 (i.e. milieu de l’intervalle)
 effectif de la classe [ei, ei+1[, le nombre ni de valeurs prises dans [ei, ei+1[
 fréquence de la classe [ei, ei+1[, le rapport : fi = n
ni (n désigne l’effectif total)
 effectif cumulé de la classe [ei
, ei+1[, la somme : 

i
j 1
nj
 fréquence cumulée de la classe [ei, ei+1[, la somme : 

i
j 1
j f
 Si les classes sont d’égale amplitude, le nombre de classes k, pour une population de n
individus, est calculé à partir de l’une des deux règles empiriques suivantes :
 formule de Sturges : k = 1 + 3.3logn
 formule de Yule : k = 2.5 4 n
Dans les deux cas, le résultat obtenu est arrondi à l’entier le plus proche.
Si e est l’étendue de la série des observations (i.e. la différence entre la plus grande et la
plus petite des valeurs observées), l’amplitude a de chaque classe est :
a = e / k (on arrondit la valeur obtenue par commodité)
 Lorsque les classes sont d’amplitudes inégales, le nombre de classes ne doit pas être
trop petit sous peine de perdre de l’information, ni trop grand sous peine d’avoir trop de
classes vides. En général, le nombre de classes est compris entre 5 et 20.
2.2 TABLEAUX STATISTIQUES
L’un des objectifs de la statistique descriptive est de résumer les données brutes recueillies
sur une population sous forme de tableau statistique. Ce tableau doit être présenté de
façon la plus compréhensible possible. Un tableau statistique peut révéler la distribution
7 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
des effectifs en présentant les couples (xi, ni
) i = 1, ..., k. Il peut également révéler la
distribution des fréquences en présentant les couples (xi, fi
)i = 1, ..., k.
2.2.1 Tableaux de données qualitatives
Exemple 1 :
2.2.2 Tableaux de données quantitatives
a) Variable discrète et données groupées par valeurs
Exemple 2 :
b) Variable continue et données groupées par classes
Exemple 3 :
2.3 REPRÉSENTATIONS GRAPHIQUES
Aux tableaux statistiques établis précédemment, on peut associer des représentations
graphiques qui ont pour objet essentiel de rendre visible, d'une façon globale, les données
de ces tableaux. On distinguera d’une part, les graphiques basés sur les effectifs (ou les
fréquences) appelés diagrammes différentiels qui mettent en évidence les différences
d’effectifs (ou de fréquences) entre les modalités du caractère étudié et, d’autre part, les
graphiques basés sur les effectifs cumulés (ou les fréquences cumulées) appelés
diagrammes cumulatifs qui permettent de visualiser l’évolution des effectifs (ou des
fréquences) cumulés croissants ou décroissants.
2.3.1 Diagrammes différentiels
Un diagramme différentiel, appelé aussi graphique de distribution, peut prendre plusieurs
formes, selon la nature des données.
a) Données qualitatives
Pour un caractère qualitatif, on utilise principalement deux types de représentation
graphique :
■ Diagramme en barres
Les modalités xi du caractère étudié sont placées sur une droite horizontale. Une chose
importante à noter est que cette droite n’est pas orientée car les modalités ne sont pas
8 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
mesurables, il n’y a donc pas de relation d’ordre entre elles. Les effectifs ni (ou les
fréquences fi
) sont placés sur un axe vertical. Les modalités sont représentées par des
barres identiquement espacées les unes des autres pour rappeler que les modalités sont
des qualités et non des quantités. La hauteur de la barre est proportionnelle à l’effectif (ou
la fréquence) correspondant. La largeur de la barre est choisie arbitrairement, mais elle
doit être constante. Lorsque le caractère étudié est qualitatif ordinal, il est d’usage de
respecter l’ordre des modalités.
Exemple 4 :
■ Diagramme en secteurs
On le trouve aussi sous le nom de diagramme circulaire. Les effectifs ni (ou les fréquences
fi
) des diverses modalités sont représentés par des secteurs d’un cercle ou d’un demicercle. L’aire de chaque secteur est proportionnelle à l’effectif (ou la fréquence)
correspondant. Pour obtenir le secteur associé à la modalité xi , il suffit de calculer l’angle
au centre i selon la règle suivante :
i =
n
ni
θ = fi
L’angle  vaut 360° pour un diagramme circulaire, 180° pour un semi-circulaire.
Exemple 5 :
b) Données quantitatives
Avant toute tentative de représentation, il y a lieu de distinguer entre variable discrète et
variable continue.
■ Variable discrète
 Diagramme en bâtons
Les valeurs discrètes xi prises par la variable sont placées sur l’axe des abscisses, et les
effectifs ni (ou les fréquences fi
) sur l’axe des ordonnées. La hauteur du bâton est
proportionnelle à l’effectif (ou la fréquence).
Exemple 6 :
 Polygone des effectifs (ou des fréquences)
Il permet de représenter sous forme de courbe, la distribution des effectifs ou des
9 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
fréquences. Le polygone des effectifs (ou des fréquences) est obtenu à partir du
diagramme en bâtons des effectifs (ou des fréquences) en joignant par des segments de
droite les sommets des bâtons.
Exemple 7 :
■ Variable continue
 Histogramme
Celui-ci convient particulièrement aux variables continues quand celles-ci sont regroupées
en classes. Un histogramme est un ensemble de rectangles juxtaposés dont les bases
correspondent aux amplitudes des classes et dont les surfaces sont proportionnelles aux
effectifs (ou aux fréquences) des classes. Nous admettons qu’il y a linéarité, c'est-à-dire
que la distribution est uniforme à l’intérieur de chaque classe. On distingue deux cas :
1er cas : les classes sont d’égale amplitude. On reporte en abscisse les bornes des classes
et en ordonnée les effectifs (ou les fréquences). Dans ce cas, les hauteurs des rectangles
sont proportionnelles aux effectifs (ou aux fréquences).
Exemple 8 :
2ème cas : les classes sont d’amplitudes inégales. Pour que la surface de chaque rectangle
de l’histogramme reste proportionnelle à l’effectif (ou à la fréquence) correspondant, on
reporte en abscisse les bornes des classes et en ordonnée les densités d’effectifs (ou de
fréquences). La densité d’effectif (resp. de fréquence) d’une classe est définie comme le
rapport de l’effectif ni (resp. la fréquence fi) à l’amplitude ai de cette classe. Dans ce cas, la
hauteur du rectangle n’est pas proportionnelle à l’effectif (ou la fréquence) de la classe
mais à sa densité.
Exemple 9 :
 Polygone des effectifs (ou des fréquences)
Le polygone des effectifs (ou des fréquences) est obtenu en joignant, par des segments de
droite, les milieux des côtés supérieurs de chaque rectangle de l’histogramme.
Exemple 10 :
10 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
2.3.2 Diagrammes cumulatifs
Le diagramme cumulatif (ou courbe cumulative) de la distribution d’une variable
statistique est la représentation graphique des effectifs cumulés (ou des fréquences
cumulées). Le diagramme cumulatif peut être croissant ou décroissant selon que l’on
travaille avec les effectifs (ou les fréquences) cumulés croissants ou décroissants. Cette
représentation graphique diffère suivant le type de la variable statistique.
a) Variable discrète
Le diagramme cumulatif d’une variable discrète se présente comme une courbe en
escalier (i.e. constante par intervalle). Dans un premier temps, on place les points dont les
abscisses sont les valeurs possibles de la variable, et dont les ordonnées sont égales aux
effectifs cumulés (ou aux fréquences cumulées) correspondants. Ensuite, pour compléter le
graphique, on trace des segments de droite horizontaux (les marches) pour chaque
intervalle puisque, par définition, le cumul reste constant entre deux valeurs successives de
la variable. Il importe de noter que chaque segment de cette courbe en escalier est fermé à
gauche et ouvert à droite (sauf le premier). Pour faciliter la lecture du graphique, on
représente en plus des marches (trait plein), les verticales reliant ces marches, c'est-à-dire
les contremarches (trait pointillé).
Exemple 11 :
b) Variable continue
Le diagramme cumulatif d’une variable continue prend la forme d’une courbe appelée
polygone des effectifs cumulés (ou des fréquences cumulées).
● Le polygone des effectifs cumulés croissants se construit en joignant, par des segments
de droite, les points ayant pour abscisses les bornes supérieures des classes et pour
ordonnées les effectifs cumulés croissants associés. On ajoute à ces points celui
d’ordonnée nulle et d’abscisse égale à la borne inférieure de la première classe.
● Le polygone des effectifs cumulés décroissants, se construit en joignant, par des
segments de droite, les points ayant pour abscisses les bornes inférieures des classes et
pour ordonnées les effectifs cumulés décroissants associés. On ajoute à ces points celui
d’ordonnée nulle et d’abscisse égale à la borne supérieure de la dernière classe.
11 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
Remarque : Pour construire le polygone des fréquences cumulées, on remplace les
effectifs par les fréquences dans ce qui précède.
Les deux polygones cumulatifs sont symétriques par rapport à un axe horizontal
d’ordonnée n/2 pour les effectifs, et 1/2 pour les fréquences.
La présence de classes d’amplitudes inégales n’entraine aucune modification concernant la
construction des polygones des effectifs cumulés.
Exemple 12 :
2.4 INDICATEURS STATISTIQUES
S’il est vrai que les tableaux et graphiques définis auparavant résument une distribution, ils
ne permettent aucune quantification. Ainsi, apparait le besoin de définir un certain nombre
de caractéristiques (ou indicateurs) permettant de résumer de manière quantitative une
distribution. Il en existe trois types : les caractéristiques de tendance centrale et de
position, de dispersion et de forme.
2.4.1 Caractéristiques de tendance centrale et de position
Elles informent sur l’ordre de grandeur des valeurs de la série statistique. On distingue
d’une part, les caractéristiques de tendance centrale, comme la moyenne arithmétique, le
mode et la médiane, qui permettent de déterminer une valeur centrale autour de laquelle
les valeurs de la série ont tendance à se rassembler et, d’autre part, les caractéristiques de
position non centrale, liée à un rang donné, comme les quantiles.
a) La moyenne arithmétique pondérée
■ Variable discrète
La moyenne arithmétique pondérée x d’une série statistique (xi
, ni) i = 1, ..., k correspondant à
une variable discrète est définie par :
x = 

k
i 1
xi n
1 , pour des données isolées
x = i
k
i 1
ni
x
n
1 

, pour des données groupées par valeurs
Exemple 13 :
12 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
■ Variable continue et données groupées par classes
Si la variable est continue et si les données sont groupées par classes, on prend pour valeur
de xi les centres de classes ci. Ainsi, la moyenne arithmétique pondérée x s’écrit :
x = i
k
i 1
i n c
n
1 

Exemple 14 :
Remarques :

• Par abus de langage, on dit souvent moyenne au lieu de moyenne arithmétique ou
  moyenne arithmétique pondérée.


• Il existe d’autres moyennes (quadratique, géométrique, harmonique) dont nous ne
  parlerons pas dans ce cours.
  b) Le mode
  Le mode Mo d’une série est la valeur de la variable qui correspond au plus grand effectif
  (ou à la plus grande fréquence).
  ■ Variable discrète
  Dans le cas d’une variable discrète, la détermination du mode est immédiate.
  Exemple 15 :
  Il est possible qu’une série statistique ne présente aucun mode.
  Exemple 16 :
  Il est possible qu’une série statistique présente plusieurs modes.
  Exemple 17 :
  ■ Variable continue et données groupées par classes
  Si la variable est continue, et si les données sont groupées par classes, on parle plutôt de
  classe modale. On distingue deux cas :
  1er cas : les classes sont d’égale amplitude. La classe modale est la classe correspondant à
  l’effectif (ou à la fréquence) le plus élevé.
  Exemple 18 :
  13 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  2ème cas : les classes sont d’amplitudes inégales. Dans ce cas, la classe modale est la classe
  correspondant à la densité d’effectif (ou densité de fréquence) la plus élevée.
  Exemple 19 :
  Remarques :


• Une série statistique est dite unimodale lorsqu’elle présente un seul mode (ou une seule
  classe modale), bimodale si elle en présente deux et plurimodale si elle en présente plus
  de deux.


• Graphiquement, le mode correspond à l’abscisse d’un point d’ordonnée maximum du
  diagramme en bâtons ou du polygone des effectifs (ou des fréquences).
  c) La médiane
  La médiane Me d’une série statistique est la valeur telle que, la série étant ordonnée, il y ait
  autant d’observations rangées avant elle que d’observations rangées après elle. En
  d’autres termes, 50% des individus ont une valeur inférieure à la médiane et 50% une
  valeur supérieure. Sa détermination dépend du type de données. On distingue trois cas.
  ■ Variable discrète et données isolées
  ● Si l’effectif total n est impair, n = 2p+1 où pℕ*, la médiane Me est la valeur de rang p+1
  lorsque l’on a ordonné les valeurs par ordre croissant. C’est une valeur observée de la
  série.
  Exemple 20 :
  ● Si l’effectif total n est pair, n = 2p où pℕ*, la médiane Me est comprise entre la valeur
  de rang p et la valeur de rang p+1. L’intervalle qui sépare ces deux valeurs est appelé
  intervalle médian et toute valeur de cet intervalle est une valeur médiane. On prend
  généralement pour Me, le centre de l’intervalle médian. Dans ces conditions, la médiane
  n’est pas une valeur observée de la série.
  Exemple 21 :
  ■ Variable discrète et données groupées par valeurs
  Dans ce cas, la procédure ne permet pas toujours de partager la série en deux parties
  égales.
  Exemple 22 :
  14 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  ■ Variable continue et données groupées par classes
  La médiane Me est la valeur de la variable qui correspond à l’effectif cumulé n/2. On
  commence par chercher la classe médiane (l’intervalle où se trouve la médiane) à l’aide
  des effectifs cumulés croissants. Si [xi–1 , xi
  [ désigne la classe médiane, l’effectif cumulé en
  xi–1 , noté Ni–1, est inférieur à n/2 et l’effectif cumulé en xi, noté Ni, est supérieur à n/2. Pour
  déterminer Me on procède par interpolation linéaire en raison de l’hypothèse que la
  distribution est uniforme à l’intérieur de chaque classe.

Fig1. Calcul de la médiane par interpolation linéaire pour une variable continue
D’après la Fig1 ci-dessus, tan =
AH
GH

AC
BC
d’où : AH = AC
BC
GH
or : AH = Me – xi–1 ; AC = xi – xi–1 ; GH = n/2 – Ni–1 et BC = Ni – Ni–1
alors : (Me – xi–1) = (xi – xi–1)
i i 1
i 1
N N
n/2 N




il en résulte : Me = xi–1 + (xi – xi–1)
i i 1
i 1
N N
n/2 N




On calcule de manière analogue la médiane à l’aide des effectifs cumulés décroissants.
Exemple 23 :
Remarque : Graphiquement, la médiane Me peut être déterminée :

• soit à partir du polygone des effectifs cumulés comme l’abscisse du point d’ordonnée n/2,


• soit en repérant l’abscisse du point d’intersection du polygone des effectifs cumulés
  croissants et du polygone des effectifs cumulés décroissants.
  15 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  Pour travailler avec le polygone des fréquences cumulées, on remplace les effectifs par les
  fréquences, et n/2 par 1/2 dans ce qui précède.
  d) Les quantiles
  Ils correspondent à des valeurs de la variable statistique qui partagent la série ordonnée en
  k parties égales :
  ● si k = 4, les quantiles sont appelés quartiles. Il y a 3 quartiles, notés Q1, Q2, Q3.
  ● si k = 10, les quantiles sont appelés déciles. Il y a 9 déciles, notés D1, D2, ..., D9.
  ● si k = 100, les quantiles sont appelés centiles. Il y a 99 centiles, notés C1, C2, ..., C99.
  La détermination de ces caractéristiques est identique à celle de la médiane.
  Les quartiles Q1, Q2, Q3 sont obtenus lorsque l’on a cumulé 25, 50, 75% de la population.
  Les déciles D1, D2, ..., D9 sont obtenus lorsque l’on a cumulé 10, 20, ..., 90% de la population.
  Les centiles C1, C2, ..., C99 sont obtenus lorsque l’on a cumulé 1, 2, ..., 99% de la population.
  Remarque : Il va de soi qu’un grand nombre d’observations est nécessaire pour que les
  déciles et les centiles aient un sens.
  2.4.2 Caractéristiques de dispersion
  Ces caractéristiques renseignent sur la dispersion des valeurs des données autour de la
  valeur centrale. Elles permettent aussi de comparer des séries entre elles. Les principales
  caractéristiques de dispersion sont : la variance, l’écart-type, le coefficient de variation,
  l’étendue, l’écart interquartile et l’écart interdécile.
  a) La variance
  On appelle écart de xi à la valeur s la valeur absolue : xi – s.
  La variance V d’une série (xi, ni)i = 1, ..., k est la moyenne arithmétique des carrés des écarts à
  la moyenne arithmétique.
  ● Pour des données isolées, la variance s’écrit :
  V = 2
  i ( x x) n
  1 k
  i 1
    
  ● En revanche, pour des données groupées par valeurs, on obtient :
  V = 2
  i i n (x x) n
  1 k
  i 1
    
  16 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  ● Enfin, pour des données groupées par classes, xi est remplacé par le centre de classe ci :
  V = 2
  i i n (c x) n
  1 k
  i 1
    
  Autre expression de la variance
  Dans le but d’alléger les calculs, on utilise une autre expression de la variance qui découle
  du théorème de Kœnig :
  ● V = 2 2
  i x x
  n
  1 k
  i 1
    
  , pour des données isolées
  ● V = 2 2
  i i n x x
  n
  1 k
  i 1
    
  , pour des données groupées par valeurs
  ● V = 2 2
  i i n c x
  n
  1 k
  i 1
    
  , pour des données groupées en classes
  La variance est égale à la moyenne des carrés moinsle carré de la moyenne.
  b) L’écart-type
  L’écart-type σ d’une série est la caractéristique de dispersion la plus couramment utilisée.
  Il se définit comme la racine carrée de la variance :
  σ = V
  σ est exprimé dans la même unité que les observations. Plus σ est petit, plus les données
  sont regroupées autour de la moyenne arithmétique et plus la population est homogène.
  c) Le coefficient de variation
  Le coefficient de variation CV est le rapport de l’écart-type à la moyenne arithmétique :
  CV =
  x
  σ
  C’est un nombre sans dimension. Souvent, il est exprimé en pourcentage. Plus le
  coefficient de variation est élevé, plus la dispersion autour de la moyenne arithmétique est
  élevée. Ce coefficient permet de comparer deux variables statistiques de natures
  différentes.
  Exemple 24 :
  17 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  d) L’étendue
  L’étendue, notée e, d’une série statistique est la différence entre la plus grande et la plus
  petite des valeurs observées, dites valeurs extrêmes, de cette série :
  e = xmax – xmin
  Cette caractéristique est souvent utilisée dans les contrôles de fabrication, pour lesquels on
  donne, à priori, des marges de construction. Son intérêt est limité par le fait qu’elle dépend
  uniquement des valeurs extrêmes, qui sont parfois accidentelles.
  e) L’écart interquartile
  L’écart interquartile, noté EIQ, est la différence entre le troisième et le premier quartile :
  EIQ = Q3 – Q1
  Cet écart donne, quelles que soient les valeurs extrêmes observées, la longueur d’un
  intervalle contenant 50% des observations qui se trouvent dans la partie centrale de la
  population. Plus EIQ est grand, plus la dispersion est élevée et plus la population est
  hétérogène.
  f) L’écart interdécile
  L’écart interdécile, noté EID, est la différence entre le neuvième et le premier décile :
  EID = D9 – D1
  Cet écart donne la longueur d’un intervalle contenant 80% des observations qui se trouvent
  dans la partie centrale de la population, quelles que soient les valeurs extrêmes observées.
  2.4.3 Caractéristiques de forme
  Ces caractéristiques indiquent la symétrie ou dissymétrie de la série des données, ainsi que
  son aplatissement. Les principales caractéristiques de forme sont les coefficients
  d’asymétrie et d’aplatissement de Fisher. Ces caractéristiques sont définies à partir de la
  notion de moment.
  a) Les moments centrés
  Le moment centré d’ordre r d’une distribution est égal à la moyenne arithmétique des
  puissances d’ordre r des écarts (xi – x ).
  18 Chapitre 2 – Séries statistiques à une variable
  Ali Bouchetob Statistique et Probabilités E.N.S.E.R.E.D.D
  ● Pour des données isolées, le moment centré d’ordre r est :
  μr =
  r
  i ( x x) n
  1 k
  i 1
    
  ● En revanche, pour des données groupées par valeurs, il s’écrit :
  μr =
  r
  i i n ( x x) n
  1 k
  i 1
    
  ● Enfin, pour des données groupées par classes, il devient :
  μr =
  r
  i i n ( c x) n
  1 k
  i 1
    
  b) L’asymétrie
  Le coefficient d’asymétrie de Fisher est le rapport, noté γ1, entre le moment centré d’ordre
  3 et le cube de l’écart-type, c'est-à-dire :
  γ1 = 3
  3
  σ
  μ
  C’est un nombre sans dimension. Le coefficient d’asymétrie est nul si la répartition de
  l’échantillon ou de la distribution est symétrique. Il est positif si la répartition est étalée
  vers la droite, par contre il est négatif si la répartition est étalée vers la gauche.
  Exemple 25 :
  c) L’aplatissement
  Le coefficient d’aplatissement de Fisher est le rapport, noté γ2, entre le moment centré
  d’ordre 4 et la puissance 4 de l’écart-type, rapport diminué de 3, c'est-à-dire :
  γ2 = 3
  σ
  μ
  4
  4 
  C’est un nombre sans dimension. Le coefficient d’aplatissement est nul si la répartition des
  observations est mésokurtique, c'est-à-dire similaire à celle d’une loi normale. Le
  coefficient d’aplatissement est positif si la répartition est leptokurtique, c'est-à-dire plus
  pointue que celle d’une loi normale de même moyenne et de même écart-type. À l’inverse,
  le coefficient d’aplatissement est négatif si la répartition est platikurtique, c'est-à-dire plus
  aplatie que celle d’une loi normale de même moyenne et de même écart-type.