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Chapitre 1
Généralités sur la propagation des
ondes électromagnétiques
1.1 Bref historique
Reprenant les travaux d’Ampère, Gauss et Faraday, J. C. Maxwell apporta en 1664 la formulation
la plus complète des lois de l’électromagnétisme [1], dont on peut dire qu’elles constituent un évènement
scienti…que majeur pour l’humanité [2].
Les équations de Maxwell ne trouvèrent cependant de con…rmation expérimentale, qu’en 1887
lorsque Hertz apporta la preuve matérielle de la propagation des ondes électromagnétiques en espace
libre.
Peu après Sir Oliver Lodge constate les propriétés directives particulières et de …ltre passe haut
d’un tuyau métallique, précurseur du guide d’ondes classique.
Lord Rayleigh publia peu après une analyse de la propagation guidée des ondes électromagnétiques
dans des tubes rectangulaires et circulaires remplis de diélectrique [3], [4].
Jusque là on expérimentait avec des générateurs à étincelles car on ne savait pas produire des
oscillations électriques entretenues.
Il a fallu attendre l’invention du tube triode par Lee de Forest en 1906 pour pouvoir générer de
tels signaux, mais la di¢culté de créer des générateurs de haute fréquence était cependant réelle, et
on se contenta de travailler en basse fréquence pour les besoins de l’époque.
Avec l’essor de la Radioélectricité, la demande en matière de communication, sans cesse croissante,
pose alors le problème de l’encombrement du spectre des fréquences. La nécessité de développer le radar
qui exige une propagation très directive se faisait elle aussi très pressante. Le développement de la
technologie aidant, on recourt aux fréquences de plus en plus élevées.
Dans cette quête des fréquences élevées, l’invention du tube klystron par les frères Varian en
1937 constitue une avancée spectaculaire. C’est ainsi qu’on en arrive donc aux hyperfréquences et
aux fréquences optiques dont on sait qu’elles ont pour propriété de se propager en ligne droite et
permettent de caser plus d’émetteurs que les fréquences radioélectriques [5].
1.2 Équations de Maxwell sous forme di¤érentielle
Postulats de base de l’électromagnétisme, les équations de Maxwell sont des lois fondamentales de la physique. Elles traduisent sous forme d’équations di¤érentielles (forme locale) les théorèmes d’Ampère, Gauss, Faraday que Maxwell réunit en 1664 sous forme d’équations intégrales
en ajoutant au courant de conduction J dans l’équation d’Ampère le courant de déplacement de
Maxwell (terme 
E
 = J). Dans un milieu homogène linéaire et isotrope elles s’écrivent :
– équation de Maxwell-Faraday
1
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES2
qui énonce que la variation d’un champ magnétique H crée un champ électrique E. Par exemple,
un aimant en rotation crée un champ magnétique variable qui génère un champ électrique.
r ^ E = ¡ B
 ou r ^ E = ¡ 
H
 (1.1)
– équation de Maxwell-Ampère
qui énonce que le champ magnétique H peut être généré par le courant électrique J (théorème
d’Ampère), et (ou) par la variation d’un champ électrique 
E
 (courant de déplacement de Maxwell).
r ^ H = J +
D
 ou r ^ B = ¹
µ
J + 
E
 ¶
(1.2)
– équation de Maxwell-Gauss
qui décrit comment un champ électrique E est généré par des charges électriques :
rD =  ou rE = 
 (1.3)
– équation de Maxwell du ‡ux magnétique.
qui énonce que les lignes de champ magnétique H sont obligatoirement fermées, et qu’il n’existe
aucune « charge magnétique » analogue à une charge électrique.
rB = 0 ou rH = 0 (1.4)
avec :
D = E (1.5)
B = H (1.6)
J = E (1.7)
A ces équations il convient d’ajouter :
– la force de Lorentz :
f = (E + v ^ B) (1.8)
– la loi de conservation de la charge électrique :
rJ+
 = 0 (1.9)
qui est contenue implicitement dans l’équation de Maxwell-Ampère. En e¤et en prenant la divergence de cette équation :
r(r ^ B) = r
µ

µ
J +
D
 ¶¶ = 
µ
rJ + r
D
 ¶
=
µ
rJ+

rD

et étant donné que rD = et que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle on a :

µ
rJ+

rD

=
µ
rJ+



= 0 =) rJ+
 =0
En régime harmonique les deux premières équations de Maxwell et la loi de conservation de la
charge deviennent :
r ^ E = ¡ H (1.10)
r ^ H = J + E (1.11)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES3
rJ+  = 0 (1.12)
Les équations de Maxwell font intervenir les grandeurs physiques suivantes :
– le champ électrique E , qui s’exprime en ¡1 ;_
– le champ magnétique H, qui s’exprime en  ou  ¡2 ;
– la densité de charge électrique , qui s’exprime en ¡3 ;
– la densité de courant électrique J, qui s’exprime en ¡2 ;
– les constantes diélectrique  = 0 et magnétique  = 0 du mileu 0 et 0 étant celles du
vide.
1.3 Équations de Maxwell sous forme intégrale
Le ‡ux de l’équation r ^ E = ¡ B
 donne :Z Z

(r ^ E)n =
Z Z

¡B
 n
¡! I

Edl =
ZZ

¡B
 n = ¡ 
 ZZ

Bn = ¡
 ¡
Le ‡ux de l’équation r ^ H = J+
D
 donne :Z Z

(r ^ H) n =
ZZ

µ
J+
D
 ¶
n
¡! I

Hdl =
ZZ

¡
µ
J+
D
 ¶
n =  +

 ZZ

En
L’intégrale de volume de l’équation rD = donne :ZZZ

(rD)  =
ZZZ


¡! ZZ

Dn =
ZZ Z

 ¡! ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée contenant le volume

L’intégrale de volume de l’équation rB = 0 donne :ZZ Z

(rB)  =
ZZ Z

0
¡! ZZ

Bn = 0 ¡! ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée contenant le volume 
ce qui donne :
– équation de Maxwell-Faraday :
I

Edl = ¡
 (1.13)
– équation de Maxwell-Ampère :
I

Hdl =  +
Z Z


E
 n (1.14)
– équation de Maxwell-Gauss :
ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée (1.15)
– équation de Maxwell-‡ux magnétique :
ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée (1.16)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES4
1.4 Correspondance entre les deux formulations
La correspondance entre la formulation di¤érentielle et la formulation intégrale donne les équivalences suivantes :
– équation de Maxwell-Faraday :
r ^ E = ¡ B
 () I

Edl = ¡
 (1.17)
– équation de Maxwell-Ampère :
r ^ H = J +
D
 () I

Hdl =  +
ZZ


E
 n (1.18)
– équation de Maxwell-Gauss :
rD =  () ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée (1.19)
– équation de Maxwell-‡ux magnétique :
rB = 0 () ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée (1.20)
Ainsi, les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, énoncent respectivement que :
– la variation d’un champ magnétique H crée un champ électrique E
– la variation d’un champ électrique E crée un champ magnétique H
Par conséquent, ces deux équations permettent la propagation d’ondes électromagnétiques autoentretenues, y compris dans le vide (en l’absence de charges et de courants).
1.5 Equations de propagation des champs E et H :
En utilisant l’identité portant sur le rotationnel du rotationnel :
de E : r ^ (r ^ E) = r(rE) ¡ r2E
de H : r ^ (r ^ H) = r(rH) ¡ r2H
en remplaçant :
(rE) par  : r ^ (r ^ E) = r() ¡ r2E
(rH) par 0 : r ^ (r ^ H) = r(0) ¡ r2H
puis en remplaçant :
(r ^ E) par ¡H
(r ^ H) par J + E
on obtient :
r ^ (r ^ E) = r ^ ( ¡ H) = ¡ (r ^ H) = ¡ (J + E)
r ^ (r ^ H) = r ^ (J + E) = r ^ J+(r ^ E) = r ^ J+( ¡ H)
D’où :
r(


) ¡ r2E = ¡ (J + E)
r(0) ¡ r2H = r ^ J+( ¡ H)
Finalement en réarrangeant les deux dernières expressions, on obtient les équations de propagation
du champ E et du champ H :
r2E + 2E = J + r
³

´
(1.21)
r2H + 2H = ¡r ^ J (1.22)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES5
assez di¢ciles à résoudre.
On préfère travailler avec les équations de propagation des potentiels : le potentiel vecteur A et le
potentiel scalaire . Une fois ces potentiels déterminés il est plus facile de retrouver les expressions du
champ E et du champ H
1.6 Equations d’onde des potentiels A et 
Les équations de propagation des potentiels appelées aussi équations d’onde de Helmholtz sont des
équations di¤érentielles inhomogènes qui s’obtiennent à partir des équations de Maxwell de la même
manière que précédemment. Sachant que :
B = r ^ A (1.23)
E = ¡ r ¡ A (1.24)
on a :
r ^ H = J + E =) r^(r ^ A) =  (J + E ) =  [J +  (¡r ¡ A)]
r^(r ^ A) = r(rA) ¡ r2A =  [J +  (¡r ¡ A)]
ce qui donne
r(rA+) ¡ J = r2A+2A
en tenant compte de la jauge de Lorentz : rA+ = 0, on a …nalement :
r2A+2A = ¡ J (1.25)
On a aussi :
rD =  =) r(E) = r(¡r ¡ A) = 
D’où : r2+rA = ¡ 

Comme : rA+  = 0 =) rA = ¡  (jauge de Lorentz)
donc : r2 ¡  () = ¡ 

 …nalement :
r2+2 = ¡ 
 (1.26)
En résumé les équations d’onde de Helmholtz pour les potentiels A et  s’écrivent :
r2A + 2
A = ¡J (1.27)
r2 + 2 = ¡ 
 (1.28)
ou sous forme condensée :
£
r2 + 2¤
F = ¡S (1.29)
avec :
F =
8
<
:
A
ou

9
=
;
S =
8
><
>:
J
ou


9
>=
>;
et 2 = 2 (1.30)
– F étant la fonction potentielle ( A potentiel vecteur et  potentiel scalaire )
– S étant la fonction source ( J densité de courant et  densité de charge )
–  étant le nombre d’onde
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES6
La solution des équations di¤érentielles de Helmholtz peut s’obtenir par inversion de l’opérateur
£
r2 + 2
¤
 ce qui donne :
F = ¡ £
r2 + 2¤¡1 S (1.31)
1.7 Propagation du champ électromagnétique
En un point de l’espace où J = 0 et  = 0 les champs E et B satisfont à la même équation de
propagation :
r2E + 2E = 0 (1.32)
r2H + 2H = 0 (1.33)
1.7.1 Equation de D’Alembert à 1 dimension (D1)
L’équation de D’Alembert à 1 dimension (D1) s’écrit :
2
2 ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.34)
où ( ) est une grandeur scalaire fonction de la coordonnée  et du temps .
L’équation de D’Alembert peut encore s’écrire :2 2
2 ¡ 2
2 = 0 , d’où :
µ


 +

 ¶ µ

 ¡ 
 ¶
= 0
Posons :
 =  +


et  =  ¡ 

et considérons  et  comme des fonctions de  et  :

 = 


 + 


 = 1


 ¡ 1




 = 


 + 


 = 
 +


On a donc :
µ


 +

 ¶ µ

 ¡ 
 ¶
=
·µ
 ¡ 
 +

 +

¶ µ
 ¡ 
 ¡ 
 ¡ 
¶¸ = 0
ce qui donne :
µ
2

¶ µ¡2

¶
= 0 ou encore
2
 = 0 qui peut s’écrire : 
 µ
¶
= 0
Cette équation s’intègre successivement en 
 = ()puis () étant une primitive de () en :
 = () + ()
La solution générale de l’équation de D’Alembert est donc :
 ( ) = ( ¡ 

) + ( +


) (1.35)
Interprétons la solution particulière ( ¡ 

) :
En remarquant que : ( ¡ 

) = ( +  ¡  ¡ 

) = ( +  ¡ 
 ¡ 

) = ( +  ¡  + 
 ) si
 = 
on constate que la grandeur  se propage sans déformation à la vitesse  le long de l’axe 
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES7
De même la grandeur  se propage sans déformation à la vitesse ¡ le long de l’axe 
En conclusion : la solution générale de l’équation de D’Alembert à une dimension :  ( ) =
( ¡ 

) + ( +


) est donc la superposition :
– d’une onde plane progressive ( ¡ 

) voyageant dans le sens positif de l’axe 
– et d’une onde plane régressive ( +


) voyageant dans le sens négatif de l’axe 
1.7.2 Equation de D’Alembert à 3 dimensions (D3)
L’équation de D’Alembert à 3 dimensions ou équation classique des ondes s’écrit :
r2 ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.36)
où r2 ´
2
2 +
2
2 +
2
2 , et (   ) une grandeur scalaire fonction des coordonnées    et
du temps .
Elle admet pour solutions particulières des fonctions du type : +¡
³
 § 

´
, +¡
³
 § 

´
, +¡
³
 § 

´
Ces fonctions ont respectivement à un instant  donné même valeur en tout point d’un plan  = ,
 = ,  = . Elles représentent des ondes planes se propageant à la vitesse § le long des axes
, , .
L0
équation (D3) étant linéaire toute superposition d’ondes planes se propageant à la vitesse § le
long des axes , ,  est solution de cette équation.
1.8 Onde sphérique
Un champ scalaire à symétrie sphérique  ( ) véri…e l’équation (D3). En explicitant le laplacien
en coordonnées sphériques (D3) s’écrit :
1

2
2 () ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.37)
soit en posant  =  :
1

2
2 ¡ 1
2
2
2
³

´
= 0 =)
2
2 ¡ 1
2
2
2 = 0
 véri…e l’équation (D1), la solution générale est donc :
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES8
Fig. 1.1 –
 ( ) = 1

( ¡ 

) + 1

( +


) (1.38)
Cette expression s’interprète comme la superposition :
– d’une onde sphérique divergente
– et d’une onde sphérique convergente
Interprétons la solution particulière 1

( ¡ 

) :
A la di¤érence de l’onde plane l’onde sphérique se propage en se déformant et en s’atténuant.
1.9 Conclusion
Maxwell remarqua qu’en tout point de l’espace où J = 0 et  = 0 les 6 composantes des champs E
et H véri…ent des équations qui s’identi…ent à (D3) en posant 2 = 1
00
 Maxwell conclua alors que
le champ électromagnétique peut se propager à la vitesse de la lumière en posant  =  = 3108
et a¢rma la nature électromagnétique de la lumière.
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Chapitre 2
Résolution des équations de Maxwell
Comme on l’a déjà dit au chapitre 1, plutôt que de résoudre les équations de propagation du champ
E et du champ H :
r2E + 2E = J + r
³

´
(2.1)
r2H + 2H = ¡r ^ J (2.2)
assez di¢ciles à résoudre on préfère résoudre les équations de propagation des potentiels A et .
r2A + 2
A = ¡J (2.3)
r2 + 2 = ¡ 
 (2.4)
Une fois ces potentiels déterminés il est plus facile de retrouver les expressions du champ E et du
champ H
2.1 Introduction des potentiels A et 
L’introduction du potentiel vecteur A et du potentiel salaire  découle des propriétés mathématiques :
– de la divergence du rotationnel d’un vecteur : en e¤et si la divergence d’un vecteur X est nul cela
signi…e que ce vecteur X est le rotationnel d’un autre vecteur Y , si rX = 0 =) X = r ^ Y
– du rotationnel du gradient d’une fonction scalaire : en e¤et si le rotationnel d’un vecteur X
est nul cela signi…e que ce vecteur X est le gradient d’une fonction scalaire , si r ^ X =
0 =) X = r
L’application de ces propriétés mathématiques aux équations de Maxwell rB = 0 et r ^ E
= ¡ B
 donne :
rB = 0 =) B = r ^ A
r ^ E = ¡ B
 =) r ^ E = ¡ 
 (r ^ A) = ¡r ^
A
t =) r^
µ
E+
A
 ¶
= 0 =) E+
A
 =
§r =) E = ¡r¡A

En résumé :
B = r ^ A (2.5)
E = ¡r¡A
 (2.6)
La connaissance des potentiels A et  permettra ensuite le calcul des champs E et B
9
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL 10
Fig. 2.1 –
2.2 Détermination des potentiels A et 
2.2.1 Régime permanent
Pour déterminer les expressions des potentiels A et  on procède à l’nversion de l’opérateur
£
r2 + 2
¤
à l’aide des fonctions de Green [1].
On montre que la solution des équations de Helmoltz en négligeant le retard du au temps de
propagation du champ électromagnétique des sources vers le point d’observation (de  vers  ) est
la suivante :
A = 
4
ZZ Z

J()

 (2.7)
 = 1
4 ZZZ

 ()

 (2.8)
2.2.2 La solution des potentiels retardés
Soient D une distribution de charges et de courants,  () la densité de charge, J() la densité de
courant en un point  de D à l’instant en un point  de l’espace ( = ) les potentiels sont à
l’instant  , A ( ) et ( )
On montre que la solution physiquement acceptable des équations de Helmoltz est la solution des
potentiels retardés :
A ( ) = 
4
ZZ Z

J
³
 ¡ 

´

 (2.9)
 ( ) = 1
4 Z ZZ


³
 ¡ 

´

 (2.10)
La di¤érence entre ces expressions avec celles du régime permanent est qu’au point  les informations perçues à l’instant  sont dues aux valeurs des densités de charge et de courant à l’instant
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL 11
antérieur  ¡ 

, le retard  = 

correspond au temps de propagation du champ électromagnétique de
 vers .


النص الأصلي

Chapitre 1
Généralités sur la propagation des
ondes électromagnétiques
1.1 Bref historique
Reprenant les travaux d’Ampère, Gauss et Faraday, J. C. Maxwell apporta en 1664 la formulation
la plus complète des lois de l’électromagnétisme [1], dont on peut dire qu’elles constituent un évènement
scienti…que majeur pour l’humanité [2].
Les équations de Maxwell ne trouvèrent cependant de con…rmation expérimentale, qu’en 1887
lorsque Hertz apporta la preuve matérielle de la propagation des ondes électromagnétiques en espace
libre.
Peu après Sir Oliver Lodge constate les propriétés directives particulières et de …ltre passe haut
d’un tuyau métallique, précurseur du guide d’ondes classique.
Lord Rayleigh publia peu après une analyse de la propagation guidée des ondes électromagnétiques
dans des tubes rectangulaires et circulaires remplis de diélectrique [3], [4].
Jusque là on expérimentait avec des générateurs à étincelles car on ne savait pas produire des
oscillations électriques entretenues.
Il a fallu attendre l’invention du tube triode par Lee de Forest en 1906 pour pouvoir générer de
tels signaux, mais la di¢culté de créer des générateurs de haute fréquence était cependant réelle, et
on se contenta de travailler en basse fréquence pour les besoins de l’époque.
Avec l’essor de la Radioélectricité, la demande en matière de communication, sans cesse croissante,
pose alors le problème de l’encombrement du spectre des fréquences. La nécessité de développer le radar
qui exige une propagation très directive se faisait elle aussi très pressante. Le développement de la
technologie aidant, on recourt aux fréquences de plus en plus élevées.
Dans cette quête des fréquences élevées, l’invention du tube klystron par les frères Varian en
1937 constitue une avancée spectaculaire. C’est ainsi qu’on en arrive donc aux hyperfréquences et
aux fréquences optiques dont on sait qu’elles ont pour propriété de se propager en ligne droite et
permettent de caser plus d’émetteurs que les fréquences radioélectriques [5].
1.2 Équations de Maxwell sous forme di¤érentielle
Postulats de base de l’électromagnétisme, les équations de Maxwell sont des lois fondamentales de la physique. Elles traduisent sous forme d’équations di¤érentielles (forme locale) les théorèmes d’Ampère, Gauss, Faraday que Maxwell réunit en 1664 sous forme d’équations intégrales
en ajoutant au courant de conduction J dans l’équation d’Ampère le courant de déplacement de
Maxwell (terme 
E
 = J). Dans un milieu homogène linéaire et isotrope elles s’écrivent :
– équation de Maxwell-Faraday
1
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES2
qui énonce que la variation d’un champ magnétique H crée un champ électrique E. Par exemple,
un aimant en rotation crée un champ magnétique variable qui génère un champ électrique.
r ^ E = ¡ B
 ou r ^ E = ¡ 
H
 (1.1)
– équation de Maxwell-Ampère
qui énonce que le champ magnétique H peut être généré par le courant électrique J (théorème
d’Ampère), et (ou) par la variation d’un champ électrique 
E
 (courant de déplacement de Maxwell).
r ^ H = J +
D
 ou r ^ B = ¹
µ
J + 
E
 ¶
(1.2)
– équation de Maxwell-Gauss
qui décrit comment un champ électrique E est généré par des charges électriques :
rD =  ou rE = 
 (1.3)
– équation de Maxwell du ‡ux magnétique.
qui énonce que les lignes de champ magnétique H sont obligatoirement fermées, et qu’il n’existe
aucune « charge magnétique » analogue à une charge électrique.
rB = 0 ou rH = 0 (1.4)
avec :
D = E (1.5)
B = H (1.6)
J = E (1.7)
A ces équations il convient d’ajouter :
– la force de Lorentz :
f = (E + v ^ B) (1.8)
– la loi de conservation de la charge électrique :
rJ+
 = 0 (1.9)
qui est contenue implicitement dans l’équation de Maxwell-Ampère. En e¤et en prenant la divergence de cette équation :
r(r ^ B) = r
µ

µ
J +
D
 ¶¶ = 
µ
rJ + r
D
 ¶
=
µ
rJ+

rD

et étant donné que rD = et que la divergence d’un rotationnel est toujours nulle on a :

µ
rJ+

rD

=
µ
rJ+



= 0 =) rJ+
 =0
En régime harmonique les deux premières équations de Maxwell et la loi de conservation de la
charge deviennent :
r ^ E = ¡ H (1.10)
r ^ H = J + E (1.11)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES3
rJ+  = 0 (1.12)
Les équations de Maxwell font intervenir les grandeurs physiques suivantes :
– le champ électrique E , qui s’exprime en ¡1 ;_
– le champ magnétique H, qui s’exprime en  ou  ¡2 ;
– la densité de charge électrique , qui s’exprime en ¡3 ;
– la densité de courant électrique J, qui s’exprime en ¡2 ;
– les constantes diélectrique  = 0 et magnétique  = 0 du mileu 0 et 0 étant celles du
vide.
1.3 Équations de Maxwell sous forme intégrale
Le ‡ux de l’équation r ^ E = ¡ B
 donne :Z Z

(r ^ E)n =
Z Z

¡B
 n
¡! I

Edl =
ZZ

¡B
 n = ¡ 
 ZZ

Bn = ¡
 ¡
Le ‡ux de l’équation r ^ H = J+
D
 donne :Z Z

(r ^ H) n =
ZZ

µ
J+
D
 ¶
n
¡! I

Hdl =
ZZ

¡
µ
J+
D
 ¶
n =  +

 ZZ

En
L’intégrale de volume de l’équation rD = donne :ZZZ

(rD)  =
ZZZ


¡! ZZ

Dn =
ZZ Z

 ¡! ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée contenant le volume

L’intégrale de volume de l’équation rB = 0 donne :ZZ Z

(rB)  =
ZZ Z

0
¡! ZZ

Bn = 0 ¡! ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée contenant le volume 
ce qui donne :
– équation de Maxwell-Faraday :
I

Edl = ¡
 (1.13)
– équation de Maxwell-Ampère :
I

Hdl =  +
Z Z


E
 n (1.14)
– équation de Maxwell-Gauss :
ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée (1.15)
– équation de Maxwell-‡ux magnétique :
ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée (1.16)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES4
1.4 Correspondance entre les deux formulations
La correspondance entre la formulation di¤érentielle et la formulation intégrale donne les équivalences suivantes :
– équation de Maxwell-Faraday :
r ^ E = ¡ B
 () I

Edl = ¡
 (1.17)
– équation de Maxwell-Ampère :
r ^ H = J +
D
 () I

Hdl =  +
ZZ


E
 n (1.18)
– équation de Maxwell-Gauss :
rD =  () ZZ

EdS = 

  étant une surface fermée (1.19)
– équation de Maxwell-‡ux magnétique :
rB = 0 () ZZ

BdS = 0  étant une surface fermée (1.20)
Ainsi, les équations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère, énoncent respectivement que :
– la variation d’un champ magnétique H crée un champ électrique E
– la variation d’un champ électrique E crée un champ magnétique H
Par conséquent, ces deux équations permettent la propagation d’ondes électromagnétiques autoentretenues, y compris dans le vide (en l’absence de charges et de courants).
1.5 Equations de propagation des champs E et H :
En utilisant l’identité portant sur le rotationnel du rotationnel :
de E : r ^ (r ^ E) = r(rE) ¡ r2E
de H : r ^ (r ^ H) = r(rH) ¡ r2H
en remplaçant :
(rE) par  : r ^ (r ^ E) = r() ¡ r2E
(rH) par 0 : r ^ (r ^ H) = r(0) ¡ r2H
puis en remplaçant :
(r ^ E) par ¡H
(r ^ H) par J + E
on obtient :
r ^ (r ^ E) = r ^ ( ¡ H) = ¡ (r ^ H) = ¡ (J + E)
r ^ (r ^ H) = r ^ (J + E) = r ^ J+(r ^ E) = r ^ J+( ¡ H)
D’où :
r(


) ¡ r2E = ¡ (J + E)
r(0) ¡ r2H = r ^ J+( ¡ H)
Finalement en réarrangeant les deux dernières expressions, on obtient les équations de propagation
du champ E et du champ H :
r2E + 2E = J + r
³

´
(1.21)
r2H + 2H = ¡r ^ J (1.22)
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES5
assez di¢ciles à résoudre.
On préfère travailler avec les équations de propagation des potentiels : le potentiel vecteur A et le
potentiel scalaire . Une fois ces potentiels déterminés il est plus facile de retrouver les expressions du
champ E et du champ H
1.6 Equations d’onde des potentiels A et 
Les équations de propagation des potentiels appelées aussi équations d’onde de Helmholtz sont des
équations di¤érentielles inhomogènes qui s’obtiennent à partir des équations de Maxwell de la même
manière que précédemment. Sachant que :
B = r ^ A (1.23)
E = ¡ r ¡ A (1.24)
on a :
r ^ H = J + E =) r^(r ^ A) =  (J + E ) =  [J +  (¡r ¡ A)]
r^(r ^ A) = r(rA) ¡ r2A =  [J +  (¡r ¡ A)]
ce qui donne
r(rA+) ¡ J = r2A+2A
en tenant compte de la jauge de Lorentz : rA+ = 0, on a …nalement :
r2A+2A = ¡ J (1.25)
On a aussi :
rD =  =) r(E) = r(¡r ¡ A) = 
D’où : r2+rA = ¡ 

Comme : rA+  = 0 =) rA = ¡  (jauge de Lorentz)
donc : r2 ¡  () = ¡ 

 …nalement :
r2+2 = ¡ 
 (1.26)
En résumé les équations d’onde de Helmholtz pour les potentiels A et  s’écrivent :
r2A + 2
A = ¡J (1.27)
r2 + 2 = ¡ 
 (1.28)
ou sous forme condensée :
£
r2 + 2¤
F = ¡S (1.29)
avec :
F =
8
<
:
A
ou

9


;
S =
8



<
:
J
ou


9


;
et 2 = 2 (1.30)
– F étant la fonction potentielle ( A potentiel vecteur et  potentiel scalaire )
– S étant la fonction source ( J densité de courant et  densité de charge )
–  étant le nombre d’onde
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES6
La solution des équations di¤érentielles de Helmholtz peut s’obtenir par inversion de l’opérateur
£
r2 + 2
¤
 ce qui donne :
F = ¡ £
r2 + 2¤¡1 S (1.31)
1.7 Propagation du champ électromagnétique
En un point de l’espace où J = 0 et  = 0 les champs E et B satisfont à la même équation de
propagation :
r2E + 2E = 0 (1.32)
r2H + 2H = 0 (1.33)
1.7.1 Equation de D’Alembert à 1 dimension (D1)
L’équation de D’Alembert à 1 dimension (D1) s’écrit :
2
2 ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.34)
où ( ) est une grandeur scalaire fonction de la coordonnée  et du temps .
L’équation de D’Alembert peut encore s’écrire :2 2
2 ¡ 2
2 = 0 , d’où :
µ


 +

 ¶ µ

 ¡ 
 ¶
= 0
Posons :
 =  +


et  =  ¡ 

et considérons  et  comme des fonctions de  et  :

 = 


 + 


 = 1


 ¡ 1




 = 


 + 


 = 
 +


On a donc :
µ


 +

 ¶ µ

 ¡ 
 ¶


·µ
 ¡ 
 +

 +

¶ µ
 ¡ 
 ¡ 
 ¡ 
¶¸ = 0
ce qui donne :
µ
2

¶ µ¡2

¶
= 0 ou encore
2
 = 0 qui peut s’écrire : 
 µ
¶
= 0
Cette équation s’intègre successivement en 
 = ()puis () étant une primitive de () en :
 = () + ()
La solution générale de l’équation de D’Alembert est donc :
 ( ) = ( ¡ 

) + ( +


) (1.35)
Interprétons la solution particulière ( ¡ 

) :
En remarquant que : ( ¡ 

) = ( +  ¡  ¡ 

) = ( +  ¡ 
 ¡ 

) = ( +  ¡  + 
 ) si
 = 
on constate que la grandeur  se propage sans déformation à la vitesse  le long de l’axe 
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES7
De même la grandeur  se propage sans déformation à la vitesse ¡ le long de l’axe 
En conclusion : la solution générale de l’équation de D’Alembert à une dimension :  ( ) =
( ¡ 

) + ( +


) est donc la superposition :
– d’une onde plane progressive ( ¡ 

) voyageant dans le sens positif de l’axe 
– et d’une onde plane régressive ( +


) voyageant dans le sens négatif de l’axe 
1.7.2 Equation de D’Alembert à 3 dimensions (D3)
L’équation de D’Alembert à 3 dimensions ou équation classique des ondes s’écrit :
r2 ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.36)
où r2 ´
2
2 +
2
2 +
2
2 , et (   ) une grandeur scalaire fonction des coordonnées    et
du temps .
Elle admet pour solutions particulières des fonctions du type : +¡
³
 § 

´
, +¡
³
 § 

´
, +¡
³
 § 

´
Ces fonctions ont respectivement à un instant  donné même valeur en tout point d’un plan  = ,
 = ,  = . Elles représentent des ondes planes se propageant à la vitesse § le long des axes
, , .
L0
équation (D3) étant linéaire toute superposition d’ondes planes se propageant à la vitesse § le
long des axes , ,  est solution de cette équation.
1.8 Onde sphérique
Un champ scalaire à symétrie sphérique  ( ) véri…e l’équation (D3). En explicitant le laplacien
en coordonnées sphériques (D3) s’écrit :
1

2
2 () ¡ 1
2
2
2 = 0 (1.37)
soit en posant  =  :
1

2
2 ¡ 1
2
2
2
³

´
= 0 =)
2
2 ¡ 1
2
2
2 = 0
 véri…e l’équation (D1), la solution générale est donc :
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CHAPITRE 1. GÉNÉRALITÉS SUR LA PROPAGATION DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES8
Fig. 1.1 –
 ( ) = 1

( ¡ 

) + 1

( +


) (1.38)
Cette expression s’interprète comme la superposition :
– d’une onde sphérique divergente
– et d’une onde sphérique convergente
Interprétons la solution particulière 1

( ¡ 

) :
A la di¤érence de l’onde plane l’onde sphérique se propage en se déformant et en s’atténuant.
1.9 Conclusion
Maxwell remarqua qu’en tout point de l’espace où J = 0 et  = 0 les 6 composantes des champs E
et H véri…ent des équations qui s’identi…ent à (D3) en posant 2 = 1
00
 Maxwell conclua alors que
le champ électromagnétique peut se propager à la vitesse de la lumière en posant  =  = 3108
et a¢rma la nature électromagnétique de la lumière.
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Chapitre 2
Résolution des équations de Maxwell
Comme on l’a déjà dit au chapitre 1, plutôt que de résoudre les équations de propagation du champ
E et du champ H :
r2E + 2E = J + r
³

´
(2.1)
r2H + 2H = ¡r ^ J (2.2)
assez di¢ciles à résoudre on préfère résoudre les équations de propagation des potentiels A et .
r2A + 2
A = ¡J (2.3)
r2 + 2 = ¡ 
 (2.4)
Une fois ces potentiels déterminés il est plus facile de retrouver les expressions du champ E et du
champ H
2.1 Introduction des potentiels A et 
L’introduction du potentiel vecteur A et du potentiel salaire  découle des propriétés mathématiques :
– de la divergence du rotationnel d’un vecteur : en e¤et si la divergence d’un vecteur X est nul cela
signi…e que ce vecteur X est le rotationnel d’un autre vecteur Y , si rX = 0 =) X = r ^ Y
– du rotationnel du gradient d’une fonction scalaire : en e¤et si le rotationnel d’un vecteur X
est nul cela signi…e que ce vecteur X est le gradient d’une fonction scalaire , si r ^ X =
0 =) X = r
L’application de ces propriétés mathématiques aux équations de Maxwell rB = 0 et r ^ E
= ¡ B
 donne :
rB = 0 =) B = r ^ A
r ^ E = ¡ B
 =) r ^ E = ¡ 
 (r ^ A) = ¡r ^
A
t =) r^
µ
E+
A
 ¶
= 0 =) E+
A
 =
§r =) E = ¡r¡A

En résumé :
B = r ^ A (2.5)
E = ¡r¡A
 (2.6)
La connaissance des potentiels A et  permettra ensuite le calcul des champs E et B
9
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL 10
Fig. 2.1 –
2.2 Détermination des potentiels A et 
2.2.1 Régime permanent
Pour déterminer les expressions des potentiels A et  on procède à l’nversion de l’opérateur
£
r2 + 2
¤
à l’aide des fonctions de Green [1].
On montre que la solution des équations de Helmoltz en négligeant le retard du au temps de
propagation du champ électromagnétique des sources vers le point d’observation (de  vers  ) est
la suivante :
A = 
4
ZZ Z

J()

 (2.7)
 = 1
4 ZZZ

 ()

 (2.8)
2.2.2 La solution des potentiels retardés
Soient D une distribution de charges et de courants,  () la densité de charge, J() la densité de
courant en un point  de D à l’instant en un point  de l’espace ( = ) les potentiels sont à
l’instant  , A ( ) et ( )
On montre que la solution physiquement acceptable des équations de Helmoltz est la solution des
potentiels retardés :
A ( ) = 
4
ZZ Z

J
³
 ¡ 

´

 (2.9)
 ( ) = 1
4 Z ZZ


³
 ¡ 

´

 (2.10)
La di¤érence entre ces expressions avec celles du régime permanent est qu’au point  les informations perçues à l’instant  sont dues aux valeurs des densités de charge et de courant à l’instant
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CHAPITRE 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS DE MAXWELL 11
antérieur  ¡ 

, le retard  = 

correspond au temps de propagation du champ électromagnétique de
 vers .


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