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COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 Chapitre 2 Algebre de Boole et portes logiques

1. Introduction George Boole, mathematicien logicien est le fondateur de la logique moderne.Cas particulier : Il arrive parfois qu'une fonction soit indeterminee pour certaines combinaisons des variables, pour differentes raisons ; la plus courante est que certaines combinaisons des variables etant impossibles, on ne juge pas utile de donner une valeur particuliere a la fonction pour ces combinaisons-la.3) Fonction logique et variable binaire Une fonction logique est le resultat de la combinaison (logique combinatoire) d'une ou de plusieurs variables logiques reliees entre elles par des operations mathematiques booleennes bien definies : la valeur resultante de cette fonction depend de la valeur des variables logiques, et de toute facon cette resultante ne peut etre que 0 ou 1.Forme somme canonique : Une fonction logique est ecrite sous forme de somme canonique si toutes les variables figurent dans chaque terme et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliees entre elles par l'operateur Et. Par exemple, ??Forme produit canonique : Une fonction logique est ecrite sous forme de produit canonique si toutes les variables figurent dans chaque produit et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliees entre elles par l'operateur Ou. Par exemple, (??b = ab

a b X 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 1 1

d) Operateur Ou (Or) Si deux variables logiques a et b sont combines par l'addition (Ou logique) alors le resultat X = a + b se traduit par le fait que : Si a et b sont a faux (= 0) alors X est a faux (= 0) sinon X est a vrai (= 1) Autrement dit, X est vrai si et seulement si au moins a ou b est vrai.Les travaux theoriques de Boole, trouveront des applications primordiales dans des domaines aussi divers que les systemes informatiques, les circuits electriques et telephoniques, l'automatisme, ... Les differentes fonctions logiques de base sont decrites sous cinq formes : ?Cette variable binaire se note par une lettre comme en algebre : a, b, A, B, C, F, x, ... Physiquement, cette variable peut correspondre a l'un des dispositifs cites ci-dessus dont les 2 etats representent les 2 valeurs possibles que peut prendre cette variable.Figure 1 : Chronogramme d'une fonction Et 7) Simplification des fonctions logiques La simplification d'une expression logique, consiste a reduire cette expression a sa forme la plus simple mais equivalente, c'est-a-dire a un nombre minimal de termes et a nombre minimal de variables par terme. b) Simplification par table de Karnaugh La simplification algebrique ne donne pas toujours necessairement la forme minimale de l'expression, pour cela on utilise souvent un outil graphique appele diagramme de Karnaugh qui permet de mettre une expression logique sous sa forme la plus simple possible.L'ordre des variables en abscisse et en ordonnee est choisi de telle sorte qu'entre deux cases voisines, il n'y a qu'une seule variable qui change de valeur (d'ou codage en code de Gray).+ ??) b) Table de verite Pour une fonction X = f (a, b, ...), une table de verite est un tableau qui donne la valeur de X suivant toutes les combinaisons possibles des variables a, b, ... Exemple : determiner X sachant le tableau suivant : a b c X 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0

ISET BIZERTE 4 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 X = ??(?? + ?? ? ?? ? ?? + ?? ? ?? ? ??+ ?? . ?? ? ?? Remarque : Une table de verite donne alors l'expression de X sous la forme de somme canonique. c) Chronogramme
Les variables binaires sont representees par un niveau de tension lorsqu'elles sont a 1.ISET BIZERTE 1 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 Table de verite :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a

a X 0 0 1 1

b) Operateur Non (Not)

La fonction Non est obtenue avec une seule variable.Le but de la logique booleenne est de traduire des idees et des concepts en equations, leur appliquer certaines lois et retraduire le resultat en termes logiques.L'ensemble des regles mathematiques qui pourront etre utilisees avec des variables ne pouvant prendre que 2 valeurs possibles s'appelle : l'Algebre de Boole. 2) Variable logique et variable binaire La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs reperees habituellement par 0 ou 1.Soient, par exemple, les deux tables de verites suivantes : a b X1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 1

a b c X2 0 0 0 1 0 0 1 0

ISET BIZERTE 5 COURS: SYSTEMES LOGIQUES 2024-2025 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0

Completer les diagrammes de Karnaugh ci-dessous :

??Pour ces raisons, il est beaucoup plus avantageux de considerer un systeme mathematique n'utilisant que 2 valeurs numeriques (0 et 1) pour etudier le fonctionnement de ces dispositifs : c'est le systeme binaire.Table de verite :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a Ou b = a + b

a b X 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1

e) Non-Ou (Nor) La fonction Nor est obtenue avec au moins deux variables.Lors du regroupement des cases nous transformons le en 0 ou en 1 suivant la convenance, suivant les simplifications qui peuvent en decouler.De nombreux dispositifs electroniques, electromecanique, (mecanique, electrique, pneumatique, ...) fonctionnent en Tout ou Rien, ils peuvent donc prendre 2 etats.Une fonction logique possede donc une ou des variables logiques d'entree et une seule variable logique de sortie.b se traduit par le fait que : Si a et b sont a vrai (=1) alors X est a vrai (=1) sinon X est a faux (= 0).Pour une fonction logique a N variables, on construit un tableau de 2N cases correspondant a toutes les combinaisons possibles des N variables.Cette fonction logique se note par une lettre comme en algebre.= ?????= ??+ ??= ????+ ????= ?????+ ??= ??+ ??.??= ??.??+ (?? + ??) = (??+ ??) + ??= ??+ ??+ ??.(?? . ??) = (??.??) .??= ??.??.??.(?? + ??) = ??.??+ ??.??+ (??.??) = (?? + ??) .+ ??= ??.??= ??+ ??.1 = ??, ??+ 0 = ??, ??.+ ??.??= ??.(?? + ??) = ??+ ????= ??+ ?? + ??) = ????= ??+ ??= ??????????????+ ????????+ ?????????+ ?? + ??) ?= ??.??+ ??????+ ??????, ??2 = (??+ ??)(??+ ??+ ??)??, ??3 = ????+ ????+ ????????????????????????????????+ ????????+ ????????, ??2 = (??+ ??+ ??)(??+ ??+ ??)(??+ ??+ ??) ?

COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
Chapitre 2
Algèbre de Boole et portes logiques

1. Introduction
   George Boole, mathématicien logicien est le fondateur de la logique moderne. Le but de la logique booléenne est de traduire des idées et des concepts en équations, leur appliquer certaines lois et retraduire le résultat en termes logiques. Pour cela, il crée une algèbre binaire n'acceptant que deux valeurs numériques : 0 et 1. Les travaux théoriques de Boole, trouveront des applications primordiales dans des domaines aussi divers que les systèmes informatiques, les circuits électriques et téléphoniques, l'automatisme, ...
   Les différentes fonctions logiques de base sont décrites sous cinq formes :
   ✔ Une représentation logique : symbole logique
   ✔ Une représentation arithmétique : table de vérité
   ✔ Une représentation algébrique ou canonique : équation de l’algèbre de Boole
   ✔ Une représentation temporelle : chronogramme
   ✔ Une représentation électrique : schéma développé à contacts.
   De nombreux dispositifs électroniques, électromécanique, (mécanique, électrique, pneumatique, ...) fonctionnent en Tout ou Rien, ils peuvent donc prendre 2 états. Par exemple : arrêt/marche, ouvert/fermé, enclenché/déclenché, avant/arrière, vrai/faux…
   Pour ces raisons, il est beaucoup plus avantageux de considérer un système mathématique n'utilisant que 2 valeurs numériques (0 et 1) pour étudier le fonctionnement de ces dispositifs : c'est le système binaire. L'ensemble des règles mathématiques qui pourront être utilisées avec des variables ne pouvant prendre que 2 valeurs possibles s’appelle : l'Algèbre de Boole.


2. Variable logique et variable binaire
   La variable logique est une grandeur qui peut prendre 2 valeurs repérées habituellement par 0 ou 1. Cette variable binaire se note par une lettre comme en algèbre : a, b, A, B, C, F, x, ...
   Physiquement, cette variable peut correspondre à l’un des dispositifs cités ci-dessus dont les 2 états représentent les 2 valeurs possibles que peut prendre cette variable.
   D'une façon générale, ces 2 états sont repérés H (high) auquel on attribue la valeur 1 et L (Low) auquel on attribue la valeur 0.
   La variable binaire est aussi appelée variable booléenne.


3. Fonction logique et variable binaire
   Une fonction logique est le résultat de la combinaison (logique combinatoire) d'une ou de plusieurs variables logiques reliées entre elles par des opérations mathématiques booléennes bien définies : la valeur résultante de cette fonction dépend de la valeur des variables logiques, et de toute façon cette résultante ne peut être que 0 ou 1. Une fonction logique possède donc une ou des variables logiques d'entrée et une seule variable logique de sortie. Cette fonction logique se note par une lettre comme en algèbre.


4. Opérateurs et portes logiques
   Ce sont des symboles représentant des opérations entre des variables logiques. Les opérateurs de base sont : a) Opérateur Oui
   Cette fonction est obtenue avec une seule variable. La valeur de la fonction est toujours identique à la valeur de la variable d’entrée.
   ISET BIZERTE 1
   COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
   Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a

a
X
0
0
1
1

b) Opérateur Non (Not)

La fonction Non est obtenue avec une seule variable. La valeur de la fonction est toujours la valeur inverse (complémentaire) de celle de la variable. S’écrit : X = a et se lit : X = « a barre ». Cette fonction est aussi appelée : Fonction Inversion ou fonction complémentation.
Nous disons également que « a » est la valeur complémentaire de « a ».
Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = ��̅

a
X
0
1
1
0

c) Opérateur Et (And)

Si deux variables logiques a et b sont combinés par la multiplication (Et logique) alors le résultat X= a . b se traduit par le fait que : Si a et b sont à vrai (=1) alors X est à vrai (=1) sinon X est à faux (= 0).
Autrement dit, X est vrai si et seulement si les deux variables a et b sont à vrai.
Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a Et b = a . b = ab

a
b
X
0
0
0
0
1
0
1
0
0
1
1
1

d) Opérateur Ou (Or)
Si deux variables logiques a et b sont combinés par l’addition (Ou logique) alors le résultat X = a + b se traduit par le fait que : Si a et b sont à faux (= 0) alors X est à faux (= 0) sinon X est à vrai (= 1)
Autrement dit, X est vrai si et seulement si au moins a ou b est vrai.
Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = a Ou b = a + b

a
b
X
0
0
0
0
1
1
1
0
1
1
1
1

e) Non-Ou (Nor)
La fonction Nor est obtenue avec au moins deux variables.
ISET BIZERTE 2
COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = ��̅̅̅+̅̅̅��̅ = ��̅ ⋅ ��̅

a
b
X
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0

f) Non-Et (Nand)
L'obtention de la fonction Nand se fait avec 2 variables au moins.
Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique : X = ����̅̅̅ = ��̅ + ��̅

a
b
X
0
0
1
0
1
1
1
0
1
1
1
0

g) Ou-Exclusif (Xor)
La fonction Ou-Exclusif est une fonction obtenue avec un minimum de deux variables. Table de vérité :Symbole : Chronogramme : Forme canonique :

a
b
X
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
0

5. Théorèmes de l’algèbre de Boole
   �� = ��̅�� + ����̅ = �� ⊕ ��

Pour effectuer tout calcul booléen, on utilise un ensemble de théorèmes afin de simplifier les expressions booléennes. a) Commutativité
�� + �� = �� + �� et �� . �� = �� . ��
b) Associativité
�� + (�� + ��) = (�� + ��) + �� = �� + �� + �� et �� . (�� . ��) = (�� . ��) . �� = �� . �� . ��
c) Distributivité
�� . (�� + ��) = �� . �� + �� . �� et �� + (�� . ��) = (�� + ��) . (�� + ��)
d) Idempotence
�� + �� = �� et �� . �� = ��
e) Complémentation
ISET BIZERTE 3
COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
�� + ��̅ = 1 et ����̅ = 0
f) Théorème des constantes
�� . 1 = ��, �� + 0 = ��, �� + 1 = 1 et �� . 0 = 0
g) Théorème d’absorption
�� + �� . �� = �� et �� . (�� + ��) = ��
h) Théorème d’allègement
�� + ��̅�� = �� + �� et ��(��̅ + ��) = ����
i) Théorème de Morgan
����̅̅̅ = ��̅ + ��̅ et ��̅̅̅+̅̅̅��̅ = ��̅��̅
Vérification du théorème de Morgan :
a
b
��̅̅̅+̅̅̅��̅
��̅��̅
����̅̅̅
��̅ + ��̅
0
0
1
1
1
1
0
1
0
0
1
1
1
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0

6. Représentation d’une fonction logique
   Une fonction logique est une combinaison de variables booléennes reliées par des opérateurs logiques. Elle peut être représentée par une écriture algébrique, une table de vérité ou par un chronogramme.
   a) Représentation algébrique
   Une suite de somme et de produit de variables booléennes. On cite :
   ✔ Forme somme : Somme de plusieurs facteurs
   ✔ Forme Produit : Produits de plusieurs facteurs
   ✔ Forme somme canonique : Une fonction logique est écrite sous forme de somme canonique si toutes les variables figurent dans chaque terme et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliées entre elles par l’opérateur Et. Par exemple, ��̅ ⋅ �� ⋅ �� + �� ⋅ ��̅ ⋅ ��̅
   ✔ Forme produit canonique : Une fonction logique est écrite sous forme de produit canonique si toutes les variables figurent dans chaque produit et si dans chacun de ces termes, toutes les variables sont reliées entre elles par l’opérateur Ou. Par exemple, (�� + �� + ��̅) ⋅ (�� + ��̅ + ��)
   b) Table de vérité
   Pour une fonction X = f (a, b, …), une table de vérité est un tableau qui donne la valeur de X suivant toutes les combinaisons possibles des variables a, b, …
   Exemple : déterminer X sachant le tableau suivant :
   a
   b
   c
   X
   0
   0
   0
   0
   0
   0
   1
   1
   0
   1
   0
   1
   0
   1
   1
   0
   1
   0
   0
   0
   1
   0
   1
   1
   1
   1
   0
   0
   1
   1
   1
   0

ISET BIZERTE 4
COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
X = ��̅ ⋅ ��̅ ⋅ �� + ��̅ ⋅ �� ⋅ ��̅+ �� . ��̅ ⋅ ��
Remarque : Une table de vérité donne alors l’expression de X sous la forme de somme canonique. c) Chronogramme

Les variables binaires sont représentées par un niveau de tension lorsqu’elles sont à 1. Elles évoluent dans le temps et nous représentons la fonction logique résultante de ces variables, également par un niveau de tension. Soit, par exemple, �� = ��. ��

Figure 1 : Chronogramme d’une fonction Et
7) Simplification des fonctions logiques
La simplification d’une expression logique, consiste à réduire cette expression à sa forme la plus simple mais équivalente, c'est-à-dire à un nombre minimal de termes et à nombre minimal de variables par terme.
a) Simplification algébrique
Pour simplifier les expressions logiques, on utilise les théorèmes cités précédemment.
Exemples :
��1 = ������ + ������̅+ ����̅��, ��2 = (��̅ + ��)(�� + �� + ��)��̅, ��3 = ����̅ + ��̅��̅ + ��̅��
b) Simplification par table de Karnaugh
La simplification algébrique ne donne pas toujours nécessairement la forme minimale de l’expression, pour cela on utilise souvent un outil graphique appelé diagramme de Karnaugh qui permet de mettre une expression logique sous sa forme la plus simple possible.
⮚ Construction du diagramme de Karnaugh
Une expression logique ou une table de vérité peut être représentée sous forme d’un diagramme de Karnaugh. Pour construire ce diagramme :
✔ Pour une fonction logique à N variables, on construit un tableau de 2N cases correspondant à toutes les combinaisons possibles des N variables.
✔ L’ordre des variables en abscisse et en ordonnée est choisi de telle sorte qu’entre deux cases voisines, il n’y a qu’une seule variable qui change de valeur (d’où codage en code de Gray).
Soient, par exemple, les deux tables de vérités suivantes :
a
b
X1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
1
1
1

a
b
c
X2
0
0
0
1
0
0
1
0

ISET BIZERTE 5
COURS: SYSTÈMES LOGIQUES 2024-2025
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
1
1
1
1
0

Compléter les diagrammes de Karnaugh ci-dessous :

��
��̅
��

��̅

����
����̅
��̅��̅
��̅��
��

��̅

Déterminer le diagramme de Karnaugh des fonctions logiques suivantes :
��1 = ����̅���� + ����̅���� + ��������̅, ��2 = (��̅ + �� + ��̅)(��̅ + ��̅ + ��̅)(�� + �� + ��̅)
⮚ Simplification

Après avoir construit le diagramme de Karnaugh à partir de la table de vérité ou la fonction algébrique, on passe à la simplification : on effectue des regroupements de 1, 2, 4, 8… cases de 1 adjacentes, appelées monômes. On cherche à avoir le minimum de regroupements, ayant chacun le maximum de cases possibles.
L’adjacence est aussi vraie pour les cases à l’extrémité du tableau.
Dans un regroupement on élimine la ou les variables qui ont changé d’état et on garde le produit des variables qui n’ont pas changé d’état dans le même regroupement. De façon générale, on élimine N variables dans un groupement de 2N cases adjacentes de 1.
Par la suite, il faut traduire chaque groupe de 1 par son expression booléenne, la somme de ces expressions donne l’expression logique simplifiée.
Exemples :
Simplifier les diagrammes déjà construits dans le paragraphe précédent.
Cas particulier :
Il arrive parfois qu'une fonction soit indéterminée pour certaines combinaisons des variables, pour différentes raisons ; la plus courante est que certaines combinaisons des variables étant impossibles, on ne juge pas utile de donner une valeur particulière à la fonction pour ces combinaisons-là.
Dans les cases correspondantes du tableau de Karnaugh, on placera un signe particulier (Ф).
Lors du regroupement des cases nous transformons le en 0 ou en 1 suivant la convenance, suivant les simplifications qui peuvent en découler.
ISET BIZERTE 6