لخّصلي

On dit que la v. a X suit loi normale centr´ee r´eduite, not´ee N (0, 1), si X prend ses valeurs dans tout R et que sa fonction de densit´e est f (x) = 1 √ 2π e − x 2 2 E(X) = 0 et Var(x) = 1. La fonction de r´epartition de X , est alors φ(x) = P (X ≤ x) = Z x −∞ 1 √ 2π e − x 2 2 dx. Cette fonction ne peut s’exprimer, ni se calculer de fa¸con simple mais ses valeurs sont tabl´ees. www.economie-gestion.com Table statistique de la loi Normale centr´ee r´eduite www.economie-gestion.com Table statistique de la loi Normale centr´ee r´eduite www.economie-gestion.com Remarque La loi Normale est sym´etrique, c.a.d pour tout x ∈ R P(X ≤ x) = P(X ≥ −x). En particulier P(X ≤ 0) = P(X ≥ 0) = 1 2 . On peut aussi ´ecrire que φ(−x) = 1 − φ(x), ∀x ∈ R. www.economie-gestion.com Remarque Dans une table statistique de la loi centr´ee r´eduite, on ne peut lire que φ(x) = P(X ≤ x) pour x ≥ 0. Comment calculer par exemple P(X ≥ −1, 87) et P(X ≤ −0, 93) ? Il suffit d’appliquer la remarque pr´ec´edente et utiliser la table statistique : D’une part,P(X ≥ −1, 87) = P(X ≤ 1, 87) = 0, 97. D’autre part, P(X ≤ −0, 93) = P(X ≥ 0, 93) = 1 − P(X < 0, 93) = 1 − 0, 82 = 0, 18 www.economie-gestion.com Exercice Soit X une variable normale centr´ee r´eduite. 1 A partir de la table statistique de la loi N (0, 1), trouver P(X ≤ 1, 74) et P(X ≤ 0, 96). 2 En d´eduire 1 P(X ≥ −1, 74) et P(X < −0, 96). 2 P(0, 96 < X ≤ 1, 74) et P(X < −0, 96 ou X > 1, 74). www.economie-gestion.com Loi Normale D´efinition On dit que la v.a. X suit loi normale d’esp´erance µ ∈ R et d’´ecart-type σ > 0, not´ee N (µ, σ), si la v.a. Y = X − µ σ suit loi normale centr´ee r´eduite. Sa fonction de densit´e est donn´ee par f (x) = 1 σ √ 2π e − 1 2  x − µ σ 

On dit que la v. a X suit loi normale centr´ee r´eduite, not´ee
N (0, 1), si X prend ses valeurs dans tout R et que sa fonction de
densit´e est
f (x) = 1
√
2π
e
−
x
2
2
E(X) = 0 et Var(x) = 1.
La fonction de r´epartition de X , est alors
φ(x) = P (X ≤ x) = Z x
−∞
1
√
2π
e
−
x
2
2 dx.
Cette fonction ne peut s’exprimer, ni se calculer de fa¸con
simple mais ses valeurs sont tabl´ees.
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Table statistique de la loi Normale centr´ee r´eduite
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Remarque
La loi Normale est sym´etrique, c.a.d pour tout x ∈ R P(X ≤ x) = P(X ≥ −x). En particulier P(X ≤ 0) = P(X ≥ 0) = 1 2 . On peut aussi ´ecrire que φ(−x) = 1 − φ(x), ∀x ∈ R. www.economie-gestion.com Remarque Dans une table statistique de la loi centr´ee r´eduite, on ne peut lire que φ(x) = P(X ≤ x) pour x ≥ 0. Comment calculer par exemple P(X ≥ −1, 87) et P(X ≤ −0, 93) ? Il suffit d’appliquer la remarque pr´ec´edente et utiliser la table statistique : D’une part,P(X ≥ −1, 87) = P(X ≤ 1, 87) = 0, 97. D’autre part, P(X ≤ −0, 93) = P(X ≥ 0, 93) = 1 − P(X < 0, 93) = 1 − 0, 82 = 0, 18 www.economie-gestion.com Exercice Soit X une variable normale centr´ee r´eduite. 1 A partir de la table statistique de la loi N (0, 1), trouver
P(X ≤ 1, 74) et P(X ≤ 0, 96).
2 En d´eduire
1 P(X ≥ −1, 74) et P(X < −0, 96).
2 P(0, 96 < X ≤ 1, 74) et P(X < −0, 96 ou X > 1, 74).
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Loi Normale
D´efinition
On dit que la v.a. X suit loi normale d’esp´erance µ ∈ R et
d’´ecart-type σ > 0, not´ee N (µ, σ), si la v.a. Y =
X − µ
σ
suit loi
normale centr´ee r´eduite.
Sa fonction de densit´e est donn´ee par
f (x) = 1
σ
√
2π
e
−
1
2

x − µ
σ