Lakhasly

1 Elements de logique 1.1.1 Assertions Exemples 1.1 1.N*, n >= 2 et E1,E2,...,En des ensembles.-- L'implication P => Q se lit aussi : si P alors Q. -- LorsqueP=>Qestvraie,ondit:<<QestuneconditionnecessairedeP>>ouencore:<<pour que P soit vraie il faut que Q soit vraie ; mais on dit aussi : << P est une condition suffisante de Q >> ou encore : << pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie >>.1.1 Elements de logique 7 1.1.3 Raisonnement par l'absurde On cherche a montrer qu'une assertion P est vraie, pour cela, on suppose que P est fausse et on montre que cela entraine une contradiction avec une assertion Q qu'on sait deja qu'elle est vraie.Predicats Un predicat est un enonce mathematique qui contient (au moins) une variable d'un certain ensemble tel que lorsqu'on attribue une valeur a chacune des variables y figurant, on obtient une assertion.E) P(x)

• quiselit<<ilexisteunxdeE telqueP(x)>>,
• qui, par definition, est vraie lorsqu'il existe (au moins) un element a de E tel que l'assertion P(a) soit vraie ; le symbole << ?la synthese : elle consiste a determiner parmi tous les objets mathematiques ayant les proprietes requises (obtenues lors de l'analyse), ceux qui sont effectivement solutions du probleme.A deux assertions P et Q on peut associer leur conjonction (P et Q), leur disjonction (P ou Q), l'implication (P => Q) et l'equivalence (P <=> Q) qui sont definies par la table de verite suivante :

6 Chapitre 1.l'analyse : on suppose que l'on a une solution du probleme et on cherche a en deduire toutes les proprietes possibles de cette solution, l'objectif etant d'essayer de l'identifier au mieux ; ?Remarque1.6 L'assertion(?!x?E)P(x)selit<<ilexisteununiquex?EtelqueP(x)>>etelleest vraie lorsqu'il existe un et un seul element a de E tel que l'assertion P(a) soit vraie.<< n est un entier pair >>n'est pas une assertion car sa valeur de verite depend de la valeur de n. Conventions Si P est une assertion : -- onecritlaplupartdutemps<<onaP>>ou<<...doncP>>aulieude<<onaPestvraie>>ou<<doncP est vraie >>.On appelle assertion (ou proposition) un enonce mathematique, sans variable, auquel on peut attribuer une valeur de verite (vrai : V (ou 1) ou faux : F (ou 0)).Elements de logique et vocabulaire ensembliste Quantificateurs Soit P(x) un predicat a une variable x d'un ensemble E. On peut alors construire : -- l'assertion : (?x ?Exemple 1.6 Prouver que toute fonction f definie sur R s'ecrit de maniere unique comme somme d'une fonction paire g et d'une fonction impaire h. .Elements de logique et vocabulaire ensembliste P Q PetQ PouQ P=>Q P<=>Q VVVVVV VFFVFF FVFVVF FFFFVV Remarques 1.1 1.E) P(x)

• quiselit<<pourtoutxdeE,onaP(x)>>,
• qui, par definition, vraie lorsque l'assertion P(a) est vraie pour tout element a de E ; le symbole << ?E, l'ensemble E\F s'appelle complementaire de F dans E, et il se note CFE ou F. Proprietes 1.12 Soient A et B deux parties d'un meme ensemble ?, A = CA?Remarque1.5 PourmontrerP=>Qparl'absurde: on suppose le contraire de P => Q, c'est-a-dire on suppose << P et !Q >>(i.e. P est vraie et Q est fausse).1.1.7 Quantificateurs Ensembles -- Un ensemble E est une collection d'objets, chaque objet x de E est dit un element de E et on ecrit x?E.-- L'ensemble vide est celui qui ne contient aucun element et il est note 0/ .N tels que (1+ 1.2 Operations sur les ensembles 1.2.1 Inclusion Soient E et F deux ensembles quelconques.-- On appelle difference de E et F, l'ensemble, note E\F, des elements qui sont dans E mais pas dans F; on a donc x ?1.2.5 Couple, produit cartesien A partir de deux elements x,y, on peut construire le couple (x,y) avec, si x1,y1,x2 et y2 sont des elements, la propriete fondamentale : (x1,y1) = (x2,y2) <=> (x1 = x2 et y1 = y2).AuneassertionP,onpeutassociersanegationnoteenonPou!Petqui est definie par la table de verite suivante : P !P VF FV Definition 1.3 -- Connecteurs logiques.-- P => Q est toujours vraie sauf dans le cas ou P est vraie et Q est fausse.Exemple 1.4 Cherchons les solutions reelles de l'equation : (E) x3 -9x = 0 1.1.5 Raisonnement par disjonction des cas Exemple 1.5 -- Raisonnement par disjonction des cas.x - 2 |<= x2 - x + 2 1.1.6 Raisonnement par analyse-synthese Le raisonnement par analyse-synthese est utilise lorsqu'on cherche la ou les solutions a un probleme.1.2 Operations sur les ensembles 9 1.2.2 Ensemble des parties d'un ensemble Soit E un ensemble quelconque, l'ensemble des parties de E, note P(E), est defini par : X ?P(E)<=>X ?E.Les assertions suivantes sont toujours vraies : (I) (II) (III) 1.x2 + x + 1 + y2 = 0 est un predicat a deux variables, chacune d'entre elles appartient a C.

8 Chapitre 1.On appelle produit cartesien de E etF,l'ensemble,noteExF,descouples(x,y)avecx?E ety?F.Onadonc E x F = {(x, y) |P <=> Q est vraie uniquement lorsque P et Q portent la meme valeur de verite.Toute assertion de cette forme est appelee une contradiction.o Principe du tiers exclu : L'assertion : (P ou !P) est vraie.On montre alors que ceci conduit a une contradiction.1.1.4 Raisonnement par equivalences successives Le raisonnement par equivalences successives repose sur l'equivalence suivante : [(P <=> Q) et (Q <=> R)] <=> (P <=> R).-- Un ensemble qui contient un seul element x est appele un singleton et est note {x}.Montrer qu'il existe deux entiers an,bn ?<< 2 est un nombre irrationnel >> est une assertion vraie.Proposition 1.2 o Principe de non-contradiction : La proposition : (P et !P) est fausse.methode directe : on suppose que P est vraie et on montre que Q est vraie.methode par contraposee : on suppose que Q est fausse et on montre que P est fausse.Exemple 1.3 On rappelle que 2 est un nombre irrationnel.<< n2 + 1 est un nombre premier >> est un predicat dont la variable n appartient a N. 2.Remarque 1.7 L'ordre des quantificateurs de nature differente est essentiel.<< 7 est un entier pair >> est une assertion fausse.<< 3 est un entier pair => 3 = 5 >> est une assertion vraie.[Pet(QouR)]<=>[(PetQ)ou(PetR)]; [(P ou Q) et R] <=> [(P et R) ou (Q et R)].[Pou(QetR)]<=>[(PouQ)et(PouR)]; [(P et Q) ou R] <=> [(P ou R) et (Q ou R)].Soient a et b deux entiers relatifs.1.2.3 Intersection et reunion Soient E et F deux ensembles.1.2.4 Difference et difference symetrique Exercice 1.2 Soient E et F deux ensembles.o E xF = F xE, lorsque E et F sont distincts et non vides.<< 2 = 5+ >> n'est pas une assertion.-- de meme on ecrit << supposons P >> au lieu de << supposons P vraie >>.Proprietes 1.3 Soient P , Q et R trois assertions.[(PetQ)etR]<=>[Pet(QetR)]; [(P ou Q) ou R] <=> [P ou (Q ou R)].methode par l'absurde : a voir bien tot.Il se deroule en deux etapes : ?>> est appele quantificateur universel ; -- l'assertion : (?x ?E, P(x) >> Montrer une assertion de la forme << ?x ?Proprietes 1.8 Soient E,F et G trois ensembles.Remarque 1.9 P(E) n'est jamais vide car 0/ ?Proprietes 1.11 Soient E,F et G trois ensembles.Soient E et F deux ensembles.Elements de logique et vocabulaire ensembliste 5.Soient E et F deux ensembles.On appelle difference symetrique de E et F, l'ensemble, note E?F, defini par : E?F = (E\F)?(F\E).Soient E et F deux ensembles.Proprietes 1.14 Soient E, F et G trois ensembles.-- On definit le produit cartesien E1 xE2 x...En par : E1 xE2 x...En = {(x1,x2,...,xn) |(PetQ)<=>(QetP); (P ou Q) <=> (Q ou P).>> est appele quantificateur existentiel.QuediredeE etF siP(E)?P(F)?Remarque 1.10 ; E?0/=E; ; E?E=E; ; E?F=F?E; E?0/=0/ E?E=E E?F=F?E E?F?EetE?F?F ; E?E?FetF?E?F.Proprietes1.13 SoientA,BetCtroisensembles.Alors 1.Exercice 1.3 Decrire E xF lorsque E = {1,2} et F = {1,2,3}.-- (x1,x2,...,xn) s'appelle un n-uplet.1.2 Operations sur les ensembles 111.1.2 Connecteurs logiques Definition1.2--Negation.-- SiPestfaussealorsP=>Qestvraie.!(PetQ)<=>(!Pou!Q).(IV) (P<=>Q)<=>[(P=>Q)et(Q=>P)].Remarque1.4 PourmontrerP=>Qonatroismethodes: 1.Exemple 1.1 Soit n ?N. Montrer : n est pair <=> n2 est pair.Exemple 1.2 Montrer : 2 ?/ Q. ?R. montrer que : | R) x2 + 1 >= 0 >> est vraie.R) x2 -1 >= 0 >> est fausse.L'assertion<<(?x?R)x2-1>=0>>estvraie.La negation de <<(?x?E) P(x)>> est <<(?x?E) !P(x)>> et la negation de <<(?x?E) P(x)>> est << (?x ?Exploiter une hypothese du type << ?x ?E, P(x) >> Exercice:Soitn?N.Exercice 1.1 Soient ?,?F de E et F par : E ?Montrer que E ?E et x ?/ F.) -- Lorsque F ?et B = CB?.(? est associative) Demonstration.A faire en ex. ?Ainsi, on a : z?ExF <==>(?x?E , ?y?F /z=(x,y)).Remarque1.15 o Six=y,alors(x,y)=(y,x).-- SiE1 =E2 =...=En,E1xE2x...En estnoteEn.Exemple 1.9 Soit E = {0,1}.Definition 1.1 -- Assertion.Exemples 1.2 1.< 2<1>>estuneassertionfausse.!(PouQ)<=>(!Pet!Q).(P=>Q)<=>(!PouQ).[(P=>Q)et(Q=>R)]=>(P=>R)transitivite.Montrerque: a+b 2=0 ==> a=b=0.Soit x ?Exemples 1.3 1.Exemples 1.4 1.L'assertion << (?x ?L'assertion << (?x ?Exemple 1.7 Ecrire la negation de : A: (?x?R)(?n?N) n>x.On ecrit -- E?Fpoursignifier:?x,x?E=>x?F; -- E=Fpoursignifier:?x,x?E<=>x?F.= an +bn 2.R. On suppose que : ?x ?cos x + ?Montrer : ?(E=F)<=>(E?FetF?E).(E?FetF?G)=>(E?G).Exemple1.8 E={a,b,c}.P(E) et E ?On definit l'intersection E ?F et la reunion E ?E et x ?E ou x ?Definition1.4 OnditquedeuxensemblesEetFsontdisjointssiE?F=0/.On suppose que P(E) ?Alors 1.Alors 1.10 Chapitre 1.Definition 1.7 -- Produit cartesien.E et y ?Alors 1.ExF=0/<=>(E=0/ouF=0/).Definition 1.8 Soient n ?E2,...,xn ?En}.?2.3.4.2.?2.2.3.4.1.!(!P)<=>P.2.3.1.2.!(P=>Q)<=>(Pet!Q).3.(P=>Q)<=>(!Q=>!P)contraposee.4.2.3.??2.3.E) !P(x) >>.B: (??>0)(??>0)(?x?R)(|x-1|<=?=>|x2-1|<=?).?n 2) ??R, ?sin x = 0.= ?= 0.1.0/?E ; E?E.2.3. P(E) = 0/,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},E .P(E).F = {x |x ?F } ; E ?F = {x |x ?F }.1.P(F).F. 2.E?F=E<=>E?F; E?F=E<=>F?E.2.(E?F)?G=E?(F?G); (E?F)?G=E?(F?G).3.E?(F?G)=(E?F)?(E?G); (E?F)?G=(E?G)?(F?G).4.E?(F?G)=(E?F)?(E?G); (E?F)?G=(E?G)?(F?G).Definition 1.5 -- Difference, complementaire.E\F <=> (x ?A=A; A?A=0/ ; A?A=?.2.A?B<=>B?A.3.A?B=0/ <=>B?A<=>A?B.4.A?B=A?B; A?B=A?B.A\B=A?B.Definition 1.6 -- Difference symetrique.A?B = (A?B)(A?B).2.(A?B)?C = A?(B?C).x ?F }.2.Ex(F?G)=(ExF)?(ExG); (E?F)xG=(ExG)?(FxG).3.Ex(F?G)=(ExF)?(ExG); (E?F)xG=(ExG)?(FxG).x1 ?E1,x2 ?Decrire E3.

1 Éléments de logique 1.1.1 Assertions
Exemples 1.1

1. « 7 est un entier pair » est une assertion fausse.
   Définition 1.1 — Assertion. On appelle assertion (ou proposition) un énoncé mathématique, sans variable, auquel on peut attribuer une valeur de vérité (vrai : V (ou 1) ou faux : F (ou 0)).
   √


2. « 2 est un nombre irrationnel » est une assertion vraie.


3. « 2 = 5+ » n’est pas une assertion.


4. « n est un entier pair »n’est pas une assertion car sa valeur de vérité dépend de la valeur de n.
   Conventions Si P est une assertion :
   — onécritlaplupartdutemps«onaP»ou«...doncP»aulieude«onaPestvraie»ou«doncP
   est vraie ».
   — de même on écrit « supposons P » au lieu de « supposons P vraie ».
   1.1.2 Connecteurs logiques
   Définition1.2—Négation. AuneassertionP,onpeutassociersanégationnotéenonPou¬Petqui est définie par la table de vérité suivante :
   P ¬P VF FV
   Définition 1.3 — Connecteurs logiques. A deux assertions P et Q on peut associer leur conjonction (P et Q), leur disjonction (P ou Q), l’implication (P ⇒ Q) et l’équivalence (P ⇔ Q) qui sont définies par la table de vérité suivante :

6 Chapitre 1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste
P Q PetQ PouQ P⇒Q P⇔Q VVVVVV VFFVFF FVFVVF FFFFVV
Remarques 1.1 1. — P ⇒ Q est toujours vraie sauf dans le cas où P est vraie et Q est fausse. — SiPestfaussealorsP⇒Qestvraie.
— L’implication P ⇒ Q se lit aussi : si P alors Q.
— LorsqueP⇒Qestvraie,ondit:«QestuneconditionnécessairedeP»ouencore:«pour
que P soit vraie il faut que Q soit vraie ; mais on dit aussi : « P est une condition suffisante
de Q » ou encore : « pour que Q soit vraie il suffit que P soit vraie ».
2. P ⇔ Q est vraie uniquement lorsque P et Q portent la même valeur de vérité.
Exemples 1.2 1. « 3 est un entier pair ⇒ 3 = 5 » est une assertion vraie. √
2. «π∈/Q⇒ 2x.
B: (∀ε>0)(∃α>0)(∀x∈R)(|x−1|≤α⇒|x2−1|≤ε).
Remarque 1.7 L’ordre des quantificateurs de nature différente est essentiel.
Remarque1.6 L’assertion(∃!x∈E)P(x)selit«ilexisteununiquex∈EtelqueP(x)»etelleest vraie lorsqu’il existe un et un seul élément a de E tel que l’assertion P(a) soit vraie.
Exploiter une hypothèse du type « ∀x ∈ E, P(x) »
Montrer une assertion de la forme « ∃x ∈ E, P(x) » Exercice:Soitn∈N.
Montrer qu’il existe deux entiers an,bn ∈ N tels que (1+
1.2 Opérations sur les ensembles 1.2.1 Inclusion
Soient E et F deux ensembles quelconques. On écrit
— E⊂Fpoursignifier:∀x,x∈E⇒x∈F; — E=Fpoursignifier:∀x,x∈E⇔x∈F.
√ n 2)
√
= an +bn 2.
Exercice 1.1 Soient α,β ∈ R.
On suppose que : ∀x ∈ R, α cos x + β sin x = 0. Montrer : α = β = 0.
Propriétés 1.8 Soient E,F et G trois ensembles. 1. 0/⊂E ; E⊂E.
2. (E=F)⇔(E⊂FetF⊂E).
3. (E⊂FetF⊂G)⇒(E⊂G).

1.2 Opérations sur les ensembles 9
1.2.2 Ensemble des parties d’un ensemble
Soit E un ensemble quelconque, l’ensemble des parties de E, noté P(E), est défini par :
X ∈P(E)⇔X ⊂E. Exemple1.8 E={a,b,c}.

P(E) = 0/,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},E .
Remarque 1.9 P(E) n’est jamais vide car 0/ ∈ P(E) et E ∈ P(E).
1.2.3 Intersection et réunion
Soient E et F deux ensembles. On définit l’intersection E ∩ F et la réunion E ∪ F de E et F par :
E ∩ F = {x | x ∈ E et x ∈ F } ; E ∪ F = {x | x ∈ E ou x ∈ F }.
Définition1.4 OnditquedeuxensemblesEetFsontdisjointssiE∩F=0/.
1.2.4 Différence et différence symétrique
Exercice 1.2 Soient E et F deux ensembles.

1. On suppose que P(E) ⊂ P(F). Montrer que E ⊂ F. 2. QuediredeE etF siP(E)∈P(F)?
   Remarque 1.10
   ; E∪0/=E;
   ; E∪E=E;
   ; E∪F=F∪E;
   E∩0/=0/
   E∩E=E
   E∩F=F∩E
   E∩F⊂EetE∩F⊂F ; E⊂E∪FetF⊂E∪F.
   Propriétés 1.11 Soient E,F et G trois ensembles. Alors


2. E∩F=E⇔E⊂F; E∪F=E⇔F⊂E.


3. (E∩F)∩G=E∩(F∩G); (E∪F)∪G=E∪(F∪G).


4. E∩(F∪G)=(E∩F)∪(E∩G); (E∪F)∩G=(E∩G)∪(F∩G). 4. E∪(F∩G)=(E∪F)∩(E∪G); (E∩F)∪G=(E∪G)∩(F∪G).
   Définition 1.5 — Différence, complémentaire. Soient E et F deux ensembles.
   — On appelle différence de E et F, l’ensemble, noté E\F, des éléments qui sont dans E mais pas
   dans F; on a donc
   x ∈ E\F ⇔ (x ∈ E et x ∈/ F.)
   — Lorsque F ⊂ E, l’ensemble E\F s’appelle complémentaire de F dans E, et il se note CFE ou F.
   Propriétés 1.12 Soient A et B deux parties d’un même ensemble Ω, A = CAΩ et B = CBΩ. Alors 1. A=A; A∩A=0/ ; A∪A=Ω.


5. A⊂B⇔B⊂A.


6. A∩B=0/ ⇔B⊂A⇔A⊂B. 4. A∪B=A∩B; A∩B=A∪B.

10
Chapitre 1. Éléments de logique et vocabulaire ensembliste
5. A\B=A∩B.
Définition 1.6 — Différence symétrique. Soient E et F deux ensembles. On appelle différence symétrique de E et F, l’ensemble, noté E∆F, défini par : E∆F = (E\F)∪(F\E).
Propriétés1.13 SoientA,BetCtroisensembles.Alors 1. A∆B = (A∪B)(A∩B).
2. (A∆B)∆C = A∆(B∆C). (∆ est associative)
Démonstration. À faire en ex. ■ 1.2.5 Couple, produit cartésien
À partir de deux éléments x,y, on peut construire le couple (x,y) avec, si x1,y1,x2 et y2 sont des éléments, la propriété fondamentale :
(x1,y1) = (x2,y2) ⇔ (x1 = x2 et y1 = y2).
Ainsi, on a :
z∈E×F ⇐⇒(∃x∈E , ∃y∈F /z=(x,y)).
Exercice 1.3 Décrire E ×F lorsque E = {1,2} et F = {1,2,3}.
Définition 1.7 — Produit cartésien. Soient E et F deux ensembles. On appelle produit cartésien de E etF,l’ensemble,notéE×F,descouples(x,y)avecx∈E ety∈F.Onadonc
E × F = {(x, y) | x ∈ E et y ∈ F }.
Propriétés 1.14 Soient E, F et G trois ensembles. Alors

1. E×F=0/⇔(E=0/ouF=0/).


2. E×(F∪G)=(E×F)∪(E×G); (E∪F)×G=(E×G)∪(F×G). 3. E×(F∩G)=(E×F)∩(E×G); (E∩F)×G=(E×G)∩(F×G).
   Remarque1.15 • Six̸=y,alors(x,y)̸=(y,x).
   • E ×F ̸= F ×E, lorsque E et F sont distincts et non vides.
   Définition 1.8 Soient n ∈ N∗, n ≥ 2 et E1,E2,...,En des ensembles. — On définit le produit cartésien E1 ×E2 ×...En par :
   E1 ×E2 ×...En = {(x1,x2,...,xn) | x1 ∈ E1,x2 ∈ E2,...,xn ∈ En}.
   — (x1,x2,...,xn) s’appelle un n-uplet.
   — SiE1 =E2 =···=En,E1×E2×...En estnotéEn.
   Exemple 1.9 Soit E = {0,1}. Décrire E3.

1.2 Opérations sur les ensembles 11