Lakhasly

تلخص هذه المقالة أربع حجج نمطية سادت في القرن العشرين لتبرير تدريس الهندسة. أولاً، الحجة الرسمية، التي تُعرّف الهندسة كتدريب على التفكير المنطقي القابل للنقل لمجالات أخرى، متأثرةً بـ"لجنة العشرة" وتركّز على بناء الحجج وليس فقط على المفاهيم الهندسية نفسها. شخصيات بارزة مثل فوسيت، كريستوفرسون، وشلاوش دافعوا عن هذا المنظور، مؤكدين على أهمية الهندسة في تنمية مهارات التفكير النقدي اللازمة للمواطنة الفعّالة.

ثانياً، الحجة النفعية، التي تربط دراسة الهندسة باحتياجات سوق العمل، مستوحاة من لجنة الخمسة عشر وحركة الكفاءة الاجتماعية. مؤيدون مثل بريسليتش وأليندورفر ربطوا محتوى الهندسة بمتطلبات المهن المختلفة، مع اختلاف في وجهات النظر حول أهمية البراهين الرياضية الصارمة. أكد أليندورفر على الحفاظ على الطابع الرياضي للهندسة، بينما فضّل بريسليتش التركيز على تطبيقاتها العملية.

ثالثاً، الحجة الرياضية، التي ترى الهندسة كفرصة لتجربة عمل علماء الرياضيات، تُظهر تنوعاً في الآراء بين التركيز على الهندسة الإقليدية (هندرسون، مويس) والهندسات غير الإقليدية (فيهر) كوسائل لفهم النشاط الرياضي. شدد هندرسون ومويس على أهمية اكتشاف الطلاب للمسلمات والنظريات، مُعارضين "البراهين المعلبة" في الكتب المدرسية.

وأخيراً، الحجة البديهية، التي تربط الهندسة بالحدس البشري وبتفسير العالم المادي، تتضمن وجهات نظر متباينة حول مستوى الرسمية المطلوبة. مؤيدون مثل كوكس وهوفر دافعوا عن الهندسة غير الرسمية لتعزيز الاهتمام لدى الطلاب، في حين شدد أوسيسكين على أهمية الربط بين الهندسة والتطبيقات الحقيقية. وتُظهر هذه الحجة مرونة في تلبية احتياجات الطلاب المختلفة. في النهاية، تؤكد المقالة على أن هذه الحجج النمطية الأربعة غالباً ما تتداخل وتُستخدم بشكل متزامن في تبرير دراسة الهندسة.

أربعحجج نمطية لمقرر الهندسة
ظهرتأربع حجج "نمطية" في القرن العشرين تقدم مبررات لدورة الهندسة. ولا نعني بالحجج
النمطيةبالضرورة الأيديولوجيات التي يروج لها الأفراد صراحة، بل الميول المركزية التي قد تتقارب
حولهاآراء الأفراد المختلفين. أولا،ً هناك حجج "نمطية" تقدم مبررات لدورة الهندسة. حجة رسمية
، عرفدراسة الهندسة كحالة من حالات التفكير المنطقي (كريستوفرسون، 1938 ؛ فوسيت، 1935
1972 ؛ شلاوش، 1930 ؛ أبتون، 1930 ). ثانياً، حجة نفعيةصرح بأن ، 1970،1938 ؛ ميسيرف، 1962
؛Allendoerfer، الهندسةستوفر أدوات للعمل المستقبلي أو الدراسات غير الرياضية ( 1969
ثالثاً، حجة رياضيةبرر دراسة الهندسة باعتبارها فرصة لتجربة عمل الرياضيات ( .(Breslich، 1938
أخيراً، حجة بديهيةتم تنظيم .(Moise، 1975 ؛Henderson، 1940، 1947 ؛Fehr، 1972،1973
1930 ؛ كوكس، ،1909 ، دورةالهندسة مع فرص تعلم لغة تسمح للطلاب بنمذجة العالم (بيتز، 1908
.( 1985 ؛هوفر، 1981 ؛ أوسيسكين، 1980 ؛ أوسيسكين وكوكسفورد، 1972
الحجةالرسمية: الهندسة تعلم كيفية استخدام التفكير المنطقي
أنصارأ حجة رسميةلقد ورثوا حجة الانضباط العقلي وحاولوا صياغتها بطرق يمكنها استيعاب ما تم
تعلمهعن النقل. كانت الخطوة الرئيسية من نشر لجنة العشرة داخل أولئك الذين فضلوا حجة رسمية
كانمن بين أهم الأسباب التي أدت إلى هذا التحول هو صياغة طرق لتنفيذ فكرة التدريس من أجل
النقل.وكانت قيمة دراسة الهندسة تكمن في اكتساب المهارة في بناء الحجج، وتطبيق نفس
المنطقالمستخدم في دورة الهندسة. ولم تكن البراهين مهمة بسبب النفوذ الذي تمنحه لفهم
مفاهيمرياضية معينة، بل بسبب الفرصة التي تخلقها للطلاب لتعلم الاستنتاج وممارسته وتطبيقه.
وهذايعني أن الأفكار الهندسية لم تكن بنفس أهمية طريقة تقديم الحجج المنطقية. وقيل إن هذه
الطريقةقابلة للنقل إلى مجالات أخرى مثل قراءة الصحف والمشاركة الديمقراطية.
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
14 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
وعلىالرغم من تحدي ثورندايك لمفهوم نقل التدريب، فإن العديد من معلمي الرياضيات الذين
عارضوافكرة المناهج المتكاملة للرياضيات ودافعوا عن الحاجة إلى أن يدرس كل طالب الرياضيات،
دافعواعن دراسة الهندسة بسبب قدراتها التدريبية الرسمية. وكانت حجتهم أنه إذا لم يتم إثبات
النقلالمتوقع للهندسة بعد، فذلك لأن الدورة لم تدُرسَّ مع وضع النقل في الاعتبار، ولكن يمكن
تدريسالهندسة من أجل النقل. وقال هارولد فوسيت، الذي صمم دورة هندسة من شأنها أن تدرس
الهندسةمن أجل النقل، إن الهندسة يمكن أن تدُرسَّ من أجل النقل.
إذاكان الهدف الحقيقي من تدريس الهندسة التوضيحية هو إعطاء التلميذ فهماً لطبيعة
الإثبات،فلا ينبغي التركيز على الاستنتاجات التي تم التوصل إليها، بل على نوع التفكير
( المستخدمفي الوصول إلى هذه الاستنتاجات. (فوسيت، 1935 ، ص 466
أصبحتدراسة فوسيت الرائدة لدورة الهندسة التي يتم تدريسها للنقل هي الدراسة الثالثة عشرذ
الكتابالسنوي للمجلس الوطني لمعلمي الرياضيات،طبيعة الإثبات. تم بناء هذا الكتاب علىحجة
رسميةمن خلال ربط أهداف الهندسة بالحاجة إلى أن يتعلم جميع الطلاب عادات التفكير التي
يمكنهممن خلالها دعم وممارسة قيم المجتمع الديمقراطي (فوسيت، 1938 ، ص 75 ). زعم فوسيت
أنتعلم كيفية عمل البراهين في الهندسة هو مهارة يحتاجها المواطنون المتعلمون لأنها تعدهم
لمهمةتحليل النص منطقياً والتوصل إلى استنتاجات. في تقرير آخر، زعمت مجموعة من معلمي
الرياضياتالذين ضموا فوسيت أن،
لذا،ينبغي للطلاب أن يتعلموا الهندسة حتى يتعلموا كيفية التفكير بنفس الدقة في
مجالاتأخرى. والهدف الأساسي المنشود هو أن يكتسب الطالب فهماً شاملاً لبعض
جوانبالإثبات المنطقي والمواقف والقدرات ذات الصلة التي ستشجعه على تطبيق
( هذاالفهم في مجموعة متنوعة من مواقف الحياة. (بينيت وآخرون، 1938 ، ص 188
،(1934- وفقاًلويليام بيتز، الذي شغل منصب رئيس المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات ( 1932
كانالهدف الرئيسي للهندسة هو الجمع بين الخبرات في العالم الحقيقي والمعرفة المجردة. في "
نقلالتدريب، مع إشارة خاصة إلى الهندسة"، ناقش بيتز ( 1930 ) أهمية النظريات المتعلقة بالنقل
فيذلك الوقت. وخلص إلى أن المعلمين لديهم دور مهم في مساعدة الطلاب على تجربة قيم
التعليمفي الديمقراطية. قال بيتز إن "الهندسة هي مختبر فريد من نوعه للتفكير، وعلى هذا النحو
فهيتعزز الزراعة المستمرة والمنهجية للعادات العقلية التي تعد ضرورية للغاية لجميع أولئك الذين
يدعونالاستقلال العقلي والمبادرة الحقيقية كحق طبيعي لهم" (بيتز، 1930 ، ص 194 ). وأكد أن
الهندسةهي مكان خاص لتدريب العقول على تطوير أدوات يمكن تطبيقها على مجالات أخرى.
وقدوافق بروس إي. ميسيرف على هذا المنظور الخاص بتدريس الهندسة من أجل النقل. واقترح
ميسيرف،الذي ترأس المجلس الوطني لمعلمي الرياضيات من عام 1964 إلى عام 1966 ، أن يكون
هدفالمعلمين "مساعدة كل طالب على تطوير قدراته الرياضية (سواء كانت هذه القدرات واسعة
النطاقللغاية أو محدودة للغاية) حتى يتسنى للطالب أن يتمتع بإمكانات أكبر ليكون مواطنا فعالا في
.( مجتمعناالحديث" ( 1962 ، ص 11
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 15
452 ) أي أنه بغض النظر عن الفروق الفردية بين الطلاب فإنهم يجب أن يصبحوا أعضاء منتجين في
المجتمع.
وبعدمرور عشر سنوات، عدل ميسيرف بعض توصياته بما في ذلك برنامج حيث تغلغل الهندسة
غيرالرسمية في جميع المستويات الدراسية قبل دورة الهندسة القائمة على البراهين في المدرسة
الثانوية.وتضمنت بعض هذه التغييرات "الاستخدام المتزايد لاستكشافات الطلاب وتخميناتهم،
والتأكيدعلى المفاهيم المنطقية دون أن تصبح أكثر رسمية، والترحيب بإثباتات الإحداثيات وإثباتات
المتجهاتبالإضافة إلى غيرها، ومعاملة الهندسة كجزء من الرياضيات" ( 1972 ، ص 181 ). وفي
حينتشير الأفكار الجديدة إلى التحرك نحو تبرير يركز على الرياضيات، استمر ميسيرف في وصف
الهندسةكحالة من التفكير المنطقي.
وعلىنحو مماثل، قال هالبرت كريستوفرسون 6كان كريستوفرسون، الذي ترأس المجلس الوطني
لمعلميالرياضيات من عام 1938 إلى عام 1940 ، يزعم أن جميع الطلاب سيكونون مواطنين
مطالبينبالاستدلال وأن الهندسة ضرورية لتطوير مهاراتهم في الاستدلال. وقد قدم العديد من
الأمثلةحيث تم تطبيق التفكير المنطقي للهندسة على دراسة أنواع أخرى من المقترحات. كانت
البراهينمورداً لتطوير التفكير وهدفاً لدورة الهندسة. وفي رأيه، فإن الهندسة "تظُهر كيف يجب أن
يتمالتفكير إذا كان من المفترض أن يكون سليماً وموثوقاً به ودقيقاً" (كريستوفرسون، 1938 ، ص
.(155
أنصار حجة رسميةأكد أن دورة الهندسة هي المكان المناسب لتعلم التفكير المنطقي، على عكس
الدوراتالأخرى في المدرسة الثانوية. زعم دبليو إس شلاوش، الرئيس الفخري للمجلس الوطني
1953 )، أن التدريب على التفكير المنطقي كان أحد الأسباب الرئيسية - لمعلميالرياضيات ( 1948
لتدريسالهندسة التوضيحية. "في الهندسة أكثر من أي مادة مدرسية أخرى، يقُاد المتعلم إلى
الإيمانبالعقل، ويجُعل يشعر بقيمة الإثبات" (شلاوش، 1930 ، ص 134 ). اقترح شلاوش تغطية
عددأقل من النظريات والتركيز على مناقشة "العديد من التمارين الأصلية" (ص 142 ). في حين يبدو
أنهذا التوقع مشابه لأنصار حجة رياضيةإن تأكيد شلاوخ على تطوير التفكير الرياضي الرسمي القابل
للنقلإلى مجالات أخرى يوضح وجهات نظر أولئك الذين يعملون في مجال الرياضيات. حجة رسمية.
ويبدوأن أمله في أن ينخرط الطلاب في صياغة أدلة أصلية هو بمثابة تذكير بالتوقعات الواردة في
تقريرلجنة العشرة وممارسة العديد من تمارين الإثبات البسيطة التي أصبحت معيارية بعد ذلك
.( بفترةوجيزة (هيربست، 2002
باختصار،الهدف الرئيسي من دورة الهندسة وفقاً لمؤيدي حجة رسميةكان الهدف من ذلك هو أن
يتعلمالطلاب كيفية نقل المهارات وطرق التفكير التي تعلموها في الهندسة إلى مجالات أخرى.
وتقولهذه الحجة إنه لا يوجد أي مقرر رياضيات آخر في المدرسة الثانوية يمكنه أن يتحمل هذه
المسؤوليةمثل مقرر الهندسة.
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
16 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
حجةنفعية: الهندسة تعُدِ الطلاب لمكان العمل
أ حجة نفعيةوقد تم طرح هذا الموضوع لتبرير تدريس الهندسة على أساس الحاجة إلى إعداد الطلاب
لتلبيةاحتياجات القوى العاملة. وقد نشأ هذا الموضوع في عمل لجنة الخمسة عشر التي أوصت
بتطبيقاتالهندسة، ولكنه يتردد صداه أيضاً مع نبرة إعداد مكان العمل التي تتبناها حركة الكفاءة
الاجتماعية،وهي إحدى جماعات المصالح التي حددها كليبارد ( 1995 ) باعتبارها تطالب بحصة في
المناقشةالعامة للمناهج الدراسية في القرن العشرين. الحجة النفعيةكان من المفترض أن تكون
القراراتالمتعلقة بمحتوى دورة الهندسة منفصلة عن أي فكرة عن النشاط الرياضي. وبدلا من ذلك،
كانمن المفترض أن يتم اتخاذ القرارات بشأن ما يجب أن تتضمنه دورة الهندسة وفقاً لأهمية
الموضوعاتفي تطبيق المفاهيم الهندسية أو التفكير الهندسي على المهن أو المهن المستقبلية
للطلابأو، كما اتضح أثناء أوقات الحرب، وفقاً لاحتياجات البلاد (أوزبورن وكروسوايت، 1970 ). في
حينأن هناك بعض التداخل بين أهداف دورة الهندسة داخلحجة نفعيةوعلى الرغم من وجود حجج
أخرى،مثل التوقع من الطلاب أن يطوروا مهارات معينة، أو يكتبوا البراهين أو يستخدموا حدسهم،
فقدكان التوقع هو مطابقة تجارب الطلاب في الهندسة مع متطلبات وظائفهم المستقبلية.
أنصار حجة نفعيةاعتبر طلاب الهندسة بمثابة العمال المستقبليين الذين سيصبحون كذلك. بالنسبة
لإرنسترودولف بريسليش 7كان أحد أهداف الهندسة هو توفير الأدوات اللازمة لتخريج مواطنين
متعلمينيشاركون بنشاط في قوة العمل من خلال تطبيق المفاهيم العملية للهندسة. وقد تم تحديد
اقتراحاتهبشأن التغييرات التي طرأت على محتوى دورة الهندسة من خلال مدى ملاءمة
الموضوعاتلتطبيق المفاهيم الهندسية أو التفكير الهندسي على المهن أو المهن المستقبلية
للطلاب."يعتقد العديد من البالغين اعتقاداً راسخاً أنه في التدريب على التفكير ومهاجمة المشكلات
،Breslich، فيالهندسة، تلقوا شيئاً ذا قيمة محددة ويساعدهم لاحقاً في مهنهم ووظائفهم" ( 1938
ومع .Breslich ص 312 ). كان التفكير المنطقي أحد العناصر المهمة لدورة الهندسة من منظور
ذلك،كان تأكيده على المنطق مختلفاً عن بين أنصار نظرية المنطق. حجة رسمية.ركز بريسليش (
1938 ) على استخدام الطلاب لهذه المهارات في وظائفهم المستقبلية، مع الإشارة باستمرار إلى
المهنالمستقبلية باعتبارها فرصاً لاستخدام المفاهيم الهندسية حتى عندما لا يظُهر الطلاب اهتماماً
بمعرفةهذه التطبيقات.
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 17
تفرد حجة نفعيةإن الاختلاف الرئيسي بين المعرفة الهندسية والمهارات يكمن في الطريقة التي
سيتمبها تطوير هذه المهارات والغرض النهائي من تطويرها. وبدلا من حل المشكلات من الكتاب
المدرسي،اقترح بريسليتش أن يختبر الطلاب عمل المحترفين وأن "يدُربوا" الطلاب على اكتساب
المهاراتكعمال يقومون بوظائفهم (بريسليتش، 1938 ، ص 311 ). وبموجب أحكام هذه الحجة
النفعية،أكد بريسليتش على عملية استخدام "النوع الصحيح من المشكلات المأخوذة من الحياة" (
1938 ،ص 313 ). وبالتالي، كان للمعرفة الهندسية غرض مساعدة الطلاب على التعامل مع الحياة
اليومية.
فيالفصل الذي كتبه آلان أوزبورن وجو كروسوايت ( 1970 ) تحت عنوان "تعليم الرياضيات في
1945 "، يوثق آلان أوزبورن وجو كروسوايت أن بعض الظروف المحيطة بقدوم - موقفدفاعي: 1920
الحربالعالمية الثانية (على سبيل المثال، أن الاختبارات التمهيدية التي أجراها الجيش أظهرت أدلة
علىعدم الكفاءة في الرياضيات) دخلت في خطاب تعليم الرياضيات كحجج لتدريس " المحتوى
الرياضيذو الاستخدامات العسكرية" (ص 231 ). كما يشيرون إلى أن "الاهتمام بالكفاءة الرياضية
للشبابالأمريكي امتد إلى ما هو أبعد من الاحتياجات العسكرية ليشمل مشاكل التوظيف
والتدريبفي الصناعات التقنية بشكل متزايد" (ص 231 ). وعلى وجه الخصوص، اتهُمت الهندسة
الإقليديةبأنها مجردة للغاية، وفي الوقت نفسه، تم تقديم توصيات لتعليم الطلاب أساليب القياس
غيرالمباشر والمبادئ الأساسية للهندسة والعمل العسكري (أوزبورن وكروسوايت، 1970 ، ص
233-232 ). كانت دورة الهندسة في المدرسة الثانوية تحت ضغط لاستيعاب المزيد من الممارسة
فيدراسة الصيغ المرتبطة بمقاييس الأشكال المستوية والصلبة وتطبيقاتها، والحد من دور الإثبات.
وقدذكر كارل ب. أليندورفر، وهو عالم رياضيات في جامعة واشنطن ورئيس سابق لجمعية
1960 )، وهو من أنصار الحجة النفعية، أن إقامة صلات - المهندسينالمعماريين الأمريكية ( 1959
بينالهندسة والموضوعات الأخرى، وخاصة العلوم أو المهن الفنية، أمر بالغ الأهمية. وقد تأثرت
اقتراحاتهبشأن محتوى دورة الهندسة بتطبيقات المهارات الهندسية في مجالات أخرى، كما هو
الحالبالنسبة لتضمين الهندسة الصلبة. كما كانت الوسائل التي تساعد الطلاب على التعرف على
المفاهيمالهندسية مرتبطة بالتطبيقات. وأكد على فكرة أن الهندسة يجب أن تدُرسَّ بما يتفق مع
أساليبوأهداف القوى العاملة، من خلال إقامة صلات مع معلمي المجالات المهنية (أليندورفر،
1969 ،ص 168 ). ولكن على النقيض من بريسليتش، أراد أليندورفر أن يظل المقرر الدراسي ضمن
النشاطالرياضي عندما قال: "يتعين علينا أن نسعى جاهدين لتدريس مقرراتنا الدراسية في الهندسة
بنكهةهندسية حقيقية، وليس مجرد تمرين في الجبر أو المنطق" (أليندورفر، 1969 ، ص 169 ). وقد
ميزهعن بريسليتش تأكيده على وجود مقرر "استنتاجي رسمي" (أليندورفر، 1969 ، ص 169 ) في
الهندسةالمستوية. فبدءاً من التجارب غير الرسمية مع الهندسة في الصفوف السابقة، يجب أن
تتاحللطلاب فرص الحصول على مقرر دراسي رسمي في الهندسة. والهدف النهائي سيكون "تطبيق
هندستناعلى الجبر وحساب التفاضل والتكامل والعلوم والفن والعمارة وأماكن أخرى" (أليندورفر،
.( 1969 ،ص 169
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
18 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
مكانالإثبات فيحجة نفعيةإن هذا الأمر يشكل مشكلة. فقد زعم بريسليتش أن التركيز على إنتاج
البراهينيحد من قدرة الطلاب على الانخراط في العمل الإبداعي ويستبعد العديد من الطلاب
القادرين.ورغم أنه قبل أن البراهين الاستنتاجية تقدم أسبابا لحقيقة شيء ما، إلا أنه أصر على أنها
يجبأن تتبع فهما غير رسمي للمفاهيم الهندسية. وعلى نحو مماثل، صرح أليندورفر بأن المعلمين
الجيدينيجب ألا "يدفنوا الهندسة تحت انهيار جليدي من الصرامة" ( 1969 ، ص 167 ). وبدا أن
مخاوفهبشأن الطلاب لها الأسبقية على المعايير أو القيم من الانضباط. وفي حين أن أنصار البراهين
الاستنتاجيةلا يلتزمون بالمنهجية العلمية، فإنهم يتجاهلون هذه المبادئ. حجة نفعيةقد يجادل
البعضلصالح إدراج البراهين ضمن دورة الهندسة، إلا أن مخاوفهم بشأن إعداد الطلاب لمهنهم
المستقبليةكانت أقوى من الأهداف الأخرى.
حجةرياضية: الهندسة من أجل التجربة وأفكار علماء الرياضيات
ضمنأنصار حجة رياضيةكان الهدف الرئيسي لدورة الهندسة هو جعل الطلاب يختبرون نشاط علماء
الرياضيات.وتنوعت طرق تحقيق هذا الهدف. زعم بعض المؤيدين أن الهندسة الإقليدية هي السياق
الأمثلللطلاب للمشاركة في صنع وإثبات التخمينات (هندرسون، 1947 ؛ مويس، 1975 ). وزعم
آخرونأنه إذا احتاج الطلاب إلى متابعة عمل علماء الرياضيات، فيجب عليهم إعطاء الأولوية
للهندساتغير الإقليدية من خلال نمذجة التطورات في هذا التخصص (فيهر، 1972 ). أحد المفاهيم
الشائعةبين أنصار الهندسة الإقليدية هو أن الطلاب يجب أن يتدربوا على ممارسة الهندسة الإقليدية.
حجةرياضيةكان من المفترض أن تظل دراسة الهندسة ضمن نطاق النشاط الرياضي وتركز على
معرفةالهندسة. كينيث ب. هندرسون 8كان هندرسون، الذي ألف كتاباً مدرسياً في الهندسة، يتوقع
منالطلاب "اكتشاف واختبار مسارات العمل الممكنة" ( 1947 ، ص 177 ) عندما يعملون على
مشكلةهندسية، تماماً كما يفعل علماء الرياضيات. وسلط هندرسون الضوء على التمييز بين عمل
علماءالرياضيات وعمل العلماء التجريبيين. "الفرق هو أن العالم يعتمد بشكل أساسي على الإثبات
التجريبيبينما يثبت عالم الرياضيات النظرية كنتيجة ضرورية لنظريات أو فرضيات أو تعريفات أخرى
.( 1947 ، ص 177 ) "
كماأكد هندرسون على أهمية المناقشة العامة في تطوير المسلمات والنظريات في المقرر الدراسي.
وفيرأيه، كانت المناقشة في الفصول الدراسية مهمة للغاية لدرجة أن ما تصفه الكتب المدرسية
يجبأن يكون تابعاً للمفاهيم الهندسية التي تم تطويرها في الفصل. كانت المناقشات بين الطلاب
أثناءمحاولتهم إنتاج حجج مقنعة ضرورية في تعلم الهندسة "كما هي مصنوعة بدلا من تقليد
البراهين"المعلبة" للكتاب المدرسي" (هندرسون، 1947 ، ص 177 ). وهذا يعني أن الطلاب يجب أن
يتجاوزواالتدريب على كتابة البراهين، من خلال مواجهة عمل الإثبات في السياق الذي نشأت فيه
الأفكار.
بعضالأفكار التي ساهمت فيحجة رياضيةولقد سبق نشر تقرير لجنة الخمسة عشر. والواقع أن آراء
هندرسونتتفق إلى حد كبير مع آراء يوجين راندولف سميث وهو مدرس للهندسة كتب كتابا مدرسيا يطور الهندسة "باستخدام المنهج الدراسي". وفي مقدمة كتابه ذكر "أن الأمل في تشجيع
الطلابعلى استخدام المنهج الدراسي في دراستهم سوف يتزايد".
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 19
"أوصى سميث في كتابه ""بأن يقوم المعلمون بتدريس الهندسة باستخدام طريقة عدم النص"" (
1909 ،ص 3). وقد قدم كتاب سميث قائمة بالتعاريف والمسلمات والنظريات إلى جانب مجموعة
متنوعةمن التمارين بما في ذلك البراهين والمشكلات العددية والإنشاءات. وكانت اقتراحات
سميثمختلفة قليلا عن تلك التي اقترحتها لاحقاً لجنة الخمسة عشر (التي كان جزءاً منها) والتي
اقترحتالحفاظ على ارتباط وثيق بين النظريات والتمارين ذات الصلة."
إدوينمويس 9كان هندرسون، أستاذ الرياضيات في جامعة هارفارد الذي شارك في تأليف كتاب
مدرسيللهندسة (مويز وداونز، 1964 )، يتوقع من الطلاب الانخراط في النشاط الرياضي من خلال
حلالمشكلات. ومن وجهة نظر مويز، كان الطلاب بحاجة إلى مواجهة الرياضيات كنشاط إبداعي.
وكانكتابة البراهين بأنفسهم بمثابة امتداد للعمل الذي تم في الفصل، والاختبار الحقيقي للفهم
وطقوسالمرور إلى عالم الرياضيات. "عندما يحل الطلاب مثل هذه المشكلات - وهذا ما يفعلونه -
تختفيالفجوة بين النظرية والواجبات المنزلية. في هذه المناسبات، يعمل الطالب، ربما لأول مرة
فيحياته، بصفته عالم رياضيات" (مويز، 1975 ، ص 477 ). واتفق هندرسون ومويز على تحديد
أهدافومحتويات الدورة ضمن نطاق النشاط الرياضي. أصبحت البراهين مورداً مهماً للطلاب لفهم
المفاهيمالهندسية وأكثر من مجرد تمرين على المنطق.
كانمويز مهتماً بشكل خاص بالنظام والتماسك. كان مقرر الهندسة الذي اقترحه محدداً في الغالب
منخلال بنيته. كان التطور التاريخي للهندسة مهماً في دعم وجهة نظره حول مقرر الهندسة باعتباره
مقرراًفي المدرسة الثانوية لمدة عام وليس متكاملاً مع دورات الرياضيات الأخرى. "إذا تم تدريس
حقائقالهندسة الأولية على شكل أجزاء، كانحرافات في دورات أخرى، دون مراعاة الطريقة التي
تتناسببها معاً، فإن التأثير التعليمي سيكون مختلفاً تماماً" (مويز، 1975 ، ص 477 ). رأى مويز
الهندسةكجسم متميز من المعرفة وبالتالي أكد على أهمية مقرر الهندسة الموحد.
وهناكاقتراحان آخران يتميزان أيضاً ب حجة رياضية: اقتراح دمج الهندسة مع دورات أخرى، وإلغاء
دورةالهندسة التي تستغرق عاماً واحداً في المدرسة الثانوية واقتراح استخدام الهندسة غير الإقليدية
كأساسللهندسة في المدرسة الثانوية. تحول هوارد ف. فير، الذي ترأس المجلس الوطني لمعلمي
الرياضياتمن عام 1956 إلى عام 1958 ، إلى التغييرات في التخصص.
إنبقاء هندسة إقليدس قائم على افتراض أنها المادة الوحيدة المتاحة على مستوى
المدارسالثانوية لتعريف الطلاب بالتطور البديهي للرياضيات. وكان هذا صحيحا قبل
قرنمن الزمان. ولكن التطورات الحديثة في الجبر ونظرية الاحتمالات والتحليل جعلت
منالممكن استخدام هذه المواضيع بطريقة أولية وبسيطة، لتقديم البنية البديهية.
والواقعأن التفكير الهندسي اليوم يختلف تمام الاختلاف عن التفكير المستخدم في
( النهجالتركيبي الضيق. (فيهر، 1972 ، ص 151
وفقاًلفهر، يجب أن تحاكي هندسة المدارس الثانوية عمل علماء الرياضيات الحاليين. وقد عرفَّ
الهندسةعلى أنها مرتبطة بفروع أخرى من الرياضيات. واتباعاً لدودونيه، أعلن فهر: "لم يعد ينُظر إلى
الرياضياتعلى أنها مجموعة من الفروع المنفصلة، كل منها يتطور بطريقته الخاصة" ( 1972 ، ص
.(112
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
20 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
151 ). وبالتالي، كان إعداد الطلاب لمزيد من الدراسات في الرياضيات والمجالات ذات الصلة أمراً
بالغالأهمية. يمكن تعريف طلاب الهندسة بنظام بديهي في إطار الجبر الخطي. كما أعرب فيهر عن
قلقهبشأن عزل الهندسة داخل رياضيات المدارس الثانوية باعتبارها ظاهرة أمريكية.
منبين كل البلدان المتقدمة في العالم، فإن الدولة الوحيدة التي تحتفظ بتسلسل
سنويلدراسة الهندسة التركيبية لإقليدس هي الولايات المتحدة. يتعين علينا أن نفكر
علىالفور بجدية في تقديم تعليم رياضي لشباب المدارس الثانوية لا يتركهم في وضع
غيرمتناسب مع العصر عندما يدخلون الجامعة أو يدخلون حياة المجتمع الراشد. (فيهر،
( 1973 ،ص 379
وهكذا،فإن هناك موقفين مختلفين يحددان مكانة الهندسة الأخرى غير الهندسة التركيبية التي
اقترحهاإقليدس ضمن أنصار نظرية النسبية الخاصة. حجة رياضيةيستخدم أحد الموقفين الأشكال
الهندسيةغير الإقليدية كمكان للطلاب لفهم كيفية التعامل مع الافتراضات في نظام رياضي. ويدمج
الموقفالآخر أشكالا هندسية أخرى كوسيلة لمواءمة العمل في المدرسة الثانوية مع العمل الحالي
لعلماءالرياضيات. وفي حين يختلف نطاق الاحتمالات من حيث الموارد المتاحة للطلاب وتعريف
النشاطالرياضي، فإن هذين الموقفين يشتركان في هدف جعل الهندسة مكاناً لتجربة أفكار وعمل
علماءالرياضيات.
حجةبديهية: التعبير الهندسي يساعد الطلاب على تفسير تجاربهم في العالم
إنالتفاعل بين الهندسة والحدس يتخلل مبررات دورة الهندسة بين الحجج المختلفة. ومع ذلك، فإن
أنصارما نسميه حجة بديهيةوقد زعم البعض أن الهندسة تشكل فرصة فريدة للطلاب لتطبيق حدس
( الأشياءالهندسية في وصف العالم. ويمكن إرجاع هذه الحجة إلى وجهات نظر جون ديوي ( 1903
حولالجانب النفسي والمنطقي في تدريس الهندسة. وهناك اختلافات بين هذه الحجة فيما يتعلق
بمشاركةالطلاب في النشاط الرياضي. واستجاب بعض المؤيدين للحاجة إلى تطوير المهارات
الأساسيةللطلاب (على سبيل المثال، حساب محيط ومساحة الأشكال) وبالتالي دعوا إلى تطوير
معرفةالهندسة (كوكس، 1985 ؛ هوفر، 1981 ). ومال آخرون إلى التعمق أكثر في الدعوة إلى أن تقدم
؛1980/ الدورةأفكاراً رياضية بديلة تكون أكثر توافقاً مع احتياجات الطلاب (أوسيسكين، 1995
أوسيسكينوكوكسفورد، 1972 ). والفكرة الأساسية التي تدعم أنصار الهندسة هي: حجة بديهيةكان
المبدأالذي ينص على أن الهندسة توفر عدسات لفهم العالم المادي وتجربته ونمذجته من خلال
إقامةروابط أقوى بين الخبرات والحدس والمهارات والمفاهيم الهندسية. تسمح الرياضيات، كنشاط
بشري،بالارتباط بالعالم المادي من خلال دراسة السمات المكانية للأشياء المادية. وعلى عكس فروع
الرياضياتالأخرى، قيل إن الهندسة تدمج المعرفة التجريبية حول الأشياء المادية والطرق المجردة
للتعاملمع تلك الأشياء.
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
الحججالمتنافسة لصالح الهندسة الأمريكية 21
أنصار حجة بديهيةلقد كان من الممكن التوفيق بين التوترات بين الحاجة إلى اكتساب جميع الطلاب
لمحوأمية الهندسة والاختلافات في قدرات الطلاب. فبالنسبة للبعض، ظهرت الهندسة غير الرسمية
كحلمن شأنه أن يعزز اهتمام الطلاب بإثبات بعض التخمينات رسمياً لاحقاً بدلا من البدء بمعالجة
رسميةللموضوع (كوكس، 1985 ؛ هوفر، 1981 ؛ بيترسون، 1973 ). ووفقاً لبيترسون، فإن "استخدام
الهندسةغير الرسمية في ما يعُتبر عادة دورة هندسة رسمية من شأنه أن يجعل دراسة الهندسة أكثر
إثارةللاهتمام" (بيترسون، 1973 ، ص 90 ). وبالتالي، شكلت دوافع الطلاب القرارات المتعلقة بدورة
الهندسة.
وقدزعم فيليب كوكس أنه "لم يعد من الممكن اعتبار الهندسة موضوعاً مناسباً للدراسة فقط من
قبلأولئك الذين لديهم استعداد خاص للرياضيات" ( 1985 ، ص 404 ). ووفقاً لكوكس، يجب
تخصيصالفصل الدراسي الأول من دورة الهندسة لدراسة المفاهيم بشكل غير رسمي، مما يجعل
دراسةالهندسة أكثر شمولا.ً "هناك حاجة إلى المزيد من الهندسة غير الرسمية ودورات الهندسة غير
الرسميةعلى مستوى المدرسة الثانوية إذا كنا نرغب في أن يحقق معظم طلابنا درجة معينة من
معرفةالهندسة" (كوكس، 1985 ، ص 405 ). اقترح كوكس أيضاً إصدارات مختلفة من دورة
الهندسة،مصممة خصيصاً لفئات سكانية مختلفة مثل الطلاب الذين يتجهون إلى الكلية وأولئك
الذينيسعون إلى مهن أخرى وكتب كتاباً مدرسياً يوضح النهج (كوكس، 1992 ). وعلى النقيض من
حجةرسميةوالتي تهدف إلى إعداد مواطنين متعلمين، و حجة رياضيةالتي نظرت إلى جميع الطلاب
باعتبارهمعلماء رياضيات مبتدئين، حجة بديهيةتهدف إلى تلبية احتياجات الدورات المختلفة وفقاً
لاحتياجاتالطلاب المقصودة.
بعضأنصار حجة بديهيةوقد اتجه إلى مستويات فان هيل لتعلم الهندسة (انظر فويز، جيديس
وتيشلر، 1988 ) لتحديد نطاق المهارات التي ينبغي للطلاب تطويرها (هوفر، 1981 ). وتصنف
مستوياتفان هيل تجارب الطلاب مع الهندسة وفقاً لنوع التفكير المستثمر. واستناداً إلى خبرته في
تدريسالهندسة في المدرسة الثانوية، أوصى هوفر بالانتقال من الهندسة غير الرسمية إلى الهندسة
الرسمية.وينبغي أن يتم عمل الطلاب مع البراهين بعد تجارب أكثر غير رسمية. وفي رأيه، كانت
البراهينمهمة في دورة الهندسة مثل التجارب الأخرى التي قد لا تتضمن البراهين. وخلص إلى أن "
الهندسةأكثر من مجرد برهان" ( 1981 ، ص 18 )، على النقيض منحجة رياضيةحيث تعتبر البراهين
ضروريةلبناء الأفكار الهندسية.
المجلةالدولية لتاريخ تعليم الرياضيات
22 غلورياناغونزاليس وباتريسيو جي هيربست
تماعتماد دورة الهندسة غير الرسمية في العديد من المدارس كبديل لمتطلبات مناهج الرياضيات
للطلاب،وخاصة للطلاب في المسار المنخفض. إحدى خصائص هذه الدورة هي أنها تقلل وحتى
تلغيالبراهين، وتستبدلها بالاستكشافات. عادة،ً تؤكد دورة الهندسة غير الرسمية على المهارات
الجبرية،باستخدام الخصائص الهندسية كسياق لمراجعة أو تعلم تطبيقات الجبر الأول مثل حل
.(Hoffer & Koss، المعادلات(انظر 1996
وجهةنظر مختلفة بين أنصار حجة بديهيةوقد تم دعم هذه الفكرة من خلال دراسة رياضية للهندسة.
فقدزعم زلمان أوسيسكين أن تدريس الهندسة لا ينبغي أن يركز فقط على تعرض الطلاب لنظام
رياضي،بل ينبغي أن يسمح للطلاب بإقامة روابط بين الهندسة والعالم الحقيقي. وتتجاوز هذه
الروابطتطوير مهارات معينة وتؤكد على قوة الهندسة في نمذجة الظواهر في الحياة الواقعية. على
سبيلالمثال، في كتابهما المدرسي للهندسة، اختار زلمان أوسيسكين وآرثر كوكسفورد ( 1972 ) نهج
التحويللدورة الهندسة بسبب الروابط المحتملة مع الأفكار الرياضية ذات الصلة في الدورات الأخرى
واستجابةللطرق الحالية للعمل مع الهندسة (كوكسفورد، 1973 ). ويرتبط هذا التبرير ارتباطاً وثيقاً ب
حجةرياضيةوفي الوقت نفسه، فإن الفرصة لربط مقرر الهندسة في المدرسة الثانوية ب "الأفكار
ص 21 ) تبرز مقرراً للهندسة يأخذ في الاعتبار ،Usiskin & Coxford، الحدسيةالسابقة" ( 1972
حدسالطلاب.
المعاييرفي عام NCTM كانتاقتراحات أوسيسكين حول دورة الهندسة بمثابة نذير للنشر الأول ل
1989 ،ذكر أوسيسكين أن من أسباب تدريس الهندسة في المدارس الثانوية: " 1. الهندسة بشكل
فريديربط الرياضيات بالعالم المادي الحقيقي. 2. الهندسة بشكل فريديتيح تصوير الأفكار من
مجالاتأخرى في الرياضيات. 3. الهندسة غير فريديقدم أوسيسكين مثالا لنظام رياضي" ( 1980 ، ص
418 ). وفي حين ركزت مبررات الهندسة في المدارس الثانوية عادة على السبب الأخير، فقد زعم
أوسيسكينأن الهندسة يجب أن توفر الفرص للطلاب لإقامة اتصالات مع العالم الحقيقي.
ومنخلال الاقتباسات التي تصاحب مناقشتنا لكل من الحجج، يتبين لنا أن المؤلفين الأفراد نادرا ما
تبنواحجة نمطية فريدة ومحددة جيدا.ً ومع ذلك، تسمح كتاباتهم بعزل هذه الحجج النمطية الأربع
باعتبارهاأنواعا مثالية من المبررات لدراسة الهندسة.الجدول 1 يظهر بعض العناصر الأساسية التي
تميزكل وسيطة نمطية.
المجلةالدولية