Solution maximale et globale d'une équation du premier ordre

Ce texte explore les concepts de solutions maximales et globales pour les équations différentielles du premier ordre sous forme normale. Une équation différentielle du premier ordre est de la forme $y' = f(t,y)$, où $f$ est une fonction définie sur un ensemble ouvert de $\mathbb{R}^2$. Une solution de cette équation est une fonction $y$ définie sur un intervalle non vide $J$ et qui vérifie l'équation pour tout $t$ dans $J$.

Une solution maximale est une solution qui ne peut être prolongée à un intervalle plus grand. Un lemme montre que si la limite de $y(t)$ quand $t$ tend vers une borne de son intervalle de définition n'existe pas, alors $y$ est maximale. Un autre lemme garantit que toute solution peut être prolongée en une solution maximale.

Une solution globale est une solution définie sur l'ensemble de définition de $f$, c'est-à-dire sur tout $I$. La solution globale est toujours maximale car elle est définie sur l'intervalle le plus grand possible. Cependant, il existe des solutions maximales qui ne sont pas globales, comme le montre l'exemple de la fonction $y(t) = \frac{1}{t+1}$ pour l'équation $y' = -y^2$.

Le texte présente plusieurs exemples et tests pour illustrer les concepts abordés. Il met en évidence les relations entre les solutions maximales et globales, ainsi que les différentes propriétés de ces solutions.

1.2Solution maximale et globale d’une équation du
premier ordre
Soit f : I × Ω −→ R avec Ω un ouvert de R.
Définition 1.2.1 L’équation
y
′
= f (t, y)(E)
est appellée une équation différentielle du premier ordre (où bien d’ordre un) sous la
forme normale.
Exemple 3 y
′
= ty est une équation différentielle du premier ordre sous la forme nor-
male. Ici, f (t, y) = ty et I = Ω = R.
Test : Donner un exemple d’une équation différentielle du premier ordre sous la forme
normale..
Définition 1.2.2 On dit que y est une solution de (E) s’il existe un intervalle non vide
J ⊂ I tel que

1. Pour tout t ∈ J, on a y (t) ∈ Ω.


2. y est dérivable sur J et vérifie y
   ′
   (t) = f (t, y (t)) pour tout t ∈ J.
   Exemple 4 Considérons l’équation y
   ′
   =
   t
   y
   . On a f (t, y) =
   t
   y
   . Alors, f : R × R∗−→ R.
   On prend I = R un intervalle ouvert de R et Ω = R∗un ouvert de R. Montrons que la
   fonction y définie sur J = ]−∞, 0[ par y (t) = t est une solution de y
   ′
   =
   t
   y
   :


3. Pour tout t ∈ J = ]−∞, 0[ , on a y (t) = t ∈ R∗= Ω.


4. y est dérivable sur J = ]−∞, 0[ (Pourquoi). De plus, pour tout t ∈ J , on a y
   ′
   (t) = 1
   et
   t
   y(t)
   = 1. Ainsi, pour tout t ∈ J , on a y
   ′
   (t) =
   t
   y(t).
   Test : Montrer que la fonction y définie sur J = ]0, +∞[ par y (t) = t est une solution
   de y
   ′
   =
   t
   y
   .Définition 1.2.4 Une solution y : J ⊂ I −→ R est dite solution maximale si elle
   n’admet aucun prolongement �y :
   �
   J ⊂ I −→ R avec J ⊊
   �
   J. C’est à dire y est une solution
   définie sur un intervalle de définition le plus grand possible (un intervalle maximale).
   Notons que J ⊊
   �
   J veut dire J est strictement inclus dans
   �
   J.
   Exemple 7 La fonction y définie sur J = R par y (t) = e−4test une solution maximale
   de l’équation y
   ′
   = −4y car elle est définie sur R qui est un intervalle de définition
   maximale.
   Lemme 1.2.1 Soient α, β ∈ R.


5. Soit y une solution de (E) définie sur ]α, +∞[ . Si lim
   t

−→α
y (t) n’existe pas alors y est
une solution maximale.
2. Soit y une solution de (E) définie sur ]−∞, β[ . Si lim
t
<
−→β
y (t) n’existe pas alors y est
une solution maximale.
Preuve 11. Par l’absurde, on suppose que y n’est pas maximale alors elle admet un
prolongement �y :
�
J ⊂ I −→ R avec ]α, +∞[ ⊊
�
J. Puisque
�
J est un intervalle
alors α ∈
�
J. D’une part, �y est une solution de (E) alors elle dérivable sur
�
J.
Ceci implique qu’elle est continue sur
�
J. Ainsi, elle est continue en t0= α. Alors
lim
t

−→α
�y (t)
(∗)
= �y (α) ∈ R. D’autre part, on a �y = y sur J alors lim
t

−→α
y (t) = lim
t

−→α
�y (t)
(∗)

�y (α) ∈ R. C. à dire lim
t

−→α
y (t) ∈ R. Ceci est une contradiction avec lim
t

−→α
y (t) n’existe
pas.
2. Similaire à (1).
Application : La fonction y définie sur J = ]−∞, −1[ par y (t) =
1
t+1
est une solution
maximale de l’équation y
′
= −y2car lim
t
<
−→−1
y (t) = lim
t
<
−→−1
1
t+1
= −∞.
Test : Montrer que la fonction y définie sur J = ]−∞, 0[ par y (t) =
1
t
est une solution
maximale de l’équation y
′
= −y2.
Lemme 1.2.2 Toute solution y de (E) se prolonge en une solution maximale �y.Remarque 1.2.1 Si Ω = R alors la condition 1 dans la définition de la solution de (E)
est toujours vérifiée.
Exemple 5 Considérons l’équation y
′
= y2. On a f (t, y) = y2. Alors, f : R × R −→ R.
On prend I = R un intervalle ouvert de R et Ω = R un ouvert de R. Montrons que la
fonction y définie sur J = ]1, +∞[ par y (t) =
1
1−t
est une solution de y
′
= y2: On a y
est dérivable sur J = ]1, +∞[ car c’est l’inverse d’une fonction dérivable non nulle sur
]1, +∞[ . De plus, pour tout t ∈ J , on a y
′
(t) =
1
(1−t)2
et (y (t))2=
1
(1−t)2
. Ainsi, pour
tout t ∈ J , on a y
′
(t) = (y (t))2.
Remarque 1.2.2 Toute solution de (E) correspond à la donnée de deux éléments : un
intervalle non vide J ⊂ I et une fonction y : J −→ R.
Définition 1.2.3 Soient y : J ⊂ I −→ R et �y :
�
J ⊂ I −→ R deux solutions de (E) . Si
J ⊂
�
J et �y = y sur J alors on dit que �y est un prolongement de y.
Exemple 6 Considérons sur I = ]0, +∞[ l’équation y
′

2y
t
. Soit y : J = ]3, +∞[ ⊂
I −→ R une solution définie par y (t) = t2. La solution �y :
�
J = ]2, +∞[ ⊂ I −→ R
définie par �y (t) = t2est un prolongement de y car J = ]3, +∞[ et
�
J = ]2, +∞[ alors
J ⊂
�
J. Montrons que �y = y sur J : Soit t ∈ J (donc t ∈
�
J). Ainsi, y (t) = t2= �y (t) . C.
à dire, on a montré que y (t) = �y (t) pour tout t ∈ J. Ceci implique que �y = y sur J.
Test : On considère l’équation y
′
= 2�|y|. Soit y une solution définie sur J = ]−1, 1[
par y (t) = 0. Montrer que la fonction �y définie par
�y (t) =









− (t + 3)2si t < −3,
0si − 3 ≤ t ≤ 2,
(t − 2)2si t > 2,
est une solution qui prolonge y.
Remarque 1.2.3 On voit que y prolonge y car J ⊂ J et y = y sur J.
5Preuve 2 Voir [De]
Remarque 1.2.4 En général, le prolongement maximale d’une solution y n’est pas unique.
Par exemple, on considère l’équation y
′
= 2�|y|. Soit y une solution définie sur J =
]−1, 1[ par y (t) = 0. On considère la fonction �y1définie sur R par �y1(t) = 0 et la
fonction �y2définie par
�y2(t) =









− (t + 2)2si t ∈ ]−∞, −2[ ,
0si t ∈ [−2, 2] ,
(t − 2)2si t ∈ ]2, +∞[ .

1. On a �y1est la fonction constante 0 définie sur R alors elle est dérivable sur R.
   En plus, �y
   ′
   1
   = 0 et 2�|�y1| = 0 alors �y
   ′
   1
   = 2�|�y1|. Ceci implique que �y
   ′
   1
   est une
   solution de y
   ′
   = 2�|y|. Montrons que �y
   ′
   1
   est maximale : Puisque �y1est définie sur
   �
   J1= R qui représente l’intervalle de définition le plus grand possible alors elle est
   maximale. Montrons que �y1est un prolongement de y : On a J = ]−1, 1[ et
   �
   J1= R
   alors J ⊂
   �
   J1. D’autre part, pour tout t ∈ J (donc t ∈
   �
   J1), on a �y1(t) = 0 = y (t) .
   Conclusion : �y1est une solution maximale qui prolonge y.


2. Montrons que �y2est aussi une solution maximale qui prolonge y : Notons au début
   que
   �
   J2= ]−∞, −2[ ∪ [−2, 2] ∪ ]2, +∞[ = R.
   (a) Sur ]−∞, −2[ : �y2(t) = − (t + 2)2alors elle est dérivable sur ]−∞, −2[ . De
   plus, pour tout t ∈ ]−∞, −2[ , on a �y
   ′
   2
   (t) = −2 (t + 2) et 2�|�y2| = −2 (t + 2)
   (car t + 2 < 0). Alors �y
   ′
   2
   = 2�|�y2| sur ]−∞, −2[ .
   (b) De même, on montre que �y2est une fonction dérivable sur ]−2, 2[ (resp. sur
   ]2, +∞[) et elle vérifie �y
   ′
   2
   = 2�|�y2| sur ]−2, 2[ (resp. sur ]2, +∞[).
   (c) Au point t = −2 : On a
   lim
   t
   <
   −→−2
   �y2(t) − �y2(−2)
   t + 2
   = lim
   t
   <
   −→
   ̸=
   −2
   − (t + 2)2
   t + 2
   = lim
   t
   <
   −→−2
   − (t + 2) = 0.
   7De même, on trouve lim
   t

−→−2
�y2(t)−�y2(−2)
t+2
= 0. Ce qui implique que �y2est dérivable
au point t = −2. En plus, on a �y
′
2
(−2) = 0. Mais, 2�|�y2(−2)| = 0 alors
�y
′
2
(t) = 2�|�y2(t)| pour t = −2.
(d) Au point t = 2 : De même, on montre que �y2est dérivable au point t = 2. En
plus, �y
′
2
(t) = 2�|�y2(t)| pour t = 2.
Ainsi, �y2est une solution de y
′
= 2�|y|.
D’autre part, on peut montrer que �y2est maximale et elle prolonge y (A faire).
Définition 1.2.5 Si la solution y de (E) est définie sur tout I (ie. J = I) alors on dit
que y est une solution globale.
Exemple 8 La fonction nulle définie sur R est une solution globale de l’équation y
′
= y
car elle est une solution définie sur tout I = R.
Test : Montrer que la fonction y définie sur R par y (t) = e2test une solution globale
de l’équation y
′
= 2y.
Lemme 1.2.3 La solution globale est une solution maximale.
Preuve 3 La solution globale est définie sur l’intervalle tout entier qui est l’intervalle
de définition le plus grand possible. Ceci implique qu’elle est une solution maximale.
Application : La fonction nulle définie sur R est une solution globale de l’équation
y
′
= y2alors elle est une solution maximale.
Test : Montrer que la fonction définie sur R par y (t) = e2test une solution maximale
de l’équation y
′
= 2y
Remarque 1.2.5 Ils existent des solutions maximales qui ne sont pas globales. Par
exemple, la fonction y définie sur J = ]−∞, −1[ par y (t) =
1
t+1
est une solution maxi-
male de l’équation y
′
= −y2(voir l’exemple ci-dessus) mais elle n’est pas globale car
J = ]−1, +∞[ et I = R alors J ̸= I. C. à dire, elle n’est pas définie sur tout I.
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