خدمة تلخيص النصوص العربية أونلاين،قم بتلخيص نصوصك بضغطة واحدة من خلال هذه الخدمة
Element de logique et methodes de raisonnement avec
Exercices Corriges 1.Z/k(k + 1) = 2k 0 , d'ou n 2 - 1 = 4(2k 0 ) = 8k 0 =>
n 2 - 1 est divisible par 8.(P ? Q <=> P ? Q <=> P ? preuve. Q P ? Q P ? Q P => Q Q => P 1 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1
1.2. Les quantificateurs. Remarque 1.23. Remarque 1.25. ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES Exemple 1.26. ? etudiant ? section 1, ? un groupe sanguin, etudiant a un groupe sanguin. ? un groupe sanguin O-, ? l'etudiant de section 1, l'etudiant a O-. Fausse (cela veut dire que tous les etudiants ont le meme groupe sanguin ce qui est peut probable).(b) n est pair => n 2 est pair, par l'absurde : on suppose que n est pair et que
n 2 est impaire contradiction
(4) Contre exemple Pour montrer qu'une proposition est fausse il suffit de donner ce qu'on appelle un contre-exemple c'est a dire un cas particulier pour lequel la proposition est fausse.L'implication de deux propositions P, Q est notee : P => Q on dit P implique Q ou bien si P alors Q. P => Q est fausse si P est vraie et Q est fausse, sinon (P => Q) est vraie dans les autres cas.(3) Raisonnement par l'absurde Pour montrer que R est une proposition vraie on suppose que R est vrai et on tombe sur une contradiction (quelque chose d'absurde), quand R : P => Q est une implication par l'absurde on suppose que R : R ?Soit P une proposition, la negation de P est une proposition designant le contraire qu'on note (nonP), ou bien P , on peut aussi trouver la notation eP. Voici sa table de verite.Exprimer les assertions suivantes a l'aide des quantificateurs et repondre aux questions : (1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?IN/n =
2k, ainsi
2b 2 = 4k 2 <=> b 2 = 2k 2 ,
on deduit que b est pair aussi or a, b sont premier entre eux contradiction, ce que nous avons suppose au depart est faux c'est a dire ?(2) Methodes du raisonnement par la contraposee Sachant que (P => Q) <=> (Q => P), pour montrer que P => Q on utilise la contraposee, c'est a dire il suffit de montrer que Q => P de maniere directe, on suppose que Q est vraie et on montre que P est vraie.(Q => P) (P <=> Q) 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1
8)Proprietes des connecteurs logiques Quelle que soit la valeur de verite des propositions P, Q, R les proprietes suivantes sont toujours vraies.Montrons que k(k + 1) est pair on a deux cas : Si k est pair alors k + 1 est impair donc le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est pair voir exercice 2 question (3). Si k est impair, alors k + 1 est pair donc le produit est pair c'est le meme raisonnement, (il faut savoir que le produit de deux nombre consecutifs est toujours pair).(1) La contraposee de :(Il pleut, alors je prends mon para- pluie), est (je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas).Ecrire a l'aide des quantificateurs les propositions suivantes : (1) P(x) : La fonction f est nulle pour tous x ?Methodes de raisonnement Pour montrer que (P => Q) est vraie on peut utiliser ce qui suit : (1) Methode de raisonnement direct On suppose que P est vraie et on demontre que Q l'est aussi.Par contraposee, on doit montrer que n est impair => n 2 est impair, c'est vrai
cas particulier de la question 2), ainsi la proposition n
2 pair => n est pair est
verifiee, de plus n pair => n 2 est pair => ?n ?Indiquer lesquelles des propositions suivantes sont vraies et celles qui sont fausses.une proposition est une expression mathematique a laquelle on peut attribuer la valeur de verite vrai ou faux.(1) La negation de : (il pleut, alors je prends mon parapluie), est : (il pleut et je ne prends pas mon parapluie).(1) P < Q c'est a dire P n'est pas equivalente a Q lorsque P ; Q ou Q ; P. (2) P <=> Q peut etre lue P si et seulement si Q. Exemple 1.21.Les relations ?x, ?y, P(x, y) et ?y, ?x, P(x, y) sont differentes, dans la premiere y depend de x tandis que dans la seconde y ne depend pas de x.
122.IR : (2x + y > 0 et 2x + y = 0) est fausse car on ne peut jamais avoir (2x + y > 0 et 2x + y = 0) en meme temps.Q est fausse si P et Q sont fausses toutes les deux, sinon (P ?Il suffit de montrer que (P => Q) a la meme valeur de verite que (P ?Q), on le voit bien dans la table de verite suivante : P Q P P => Q P ?E, P(x, y) veut dire que x est constante (fixe), il est independant de y qui varie dans E. (2) ?x ?Par contrapo- see il suffit de montrer que si n est pair => n
2 est pair voir l'exemple precedent.IN, n >= n0, Pn(x) est vraie on suit les etapes suivantes : (a) On montre que P(n0) est vraie, (valeur initiale).Z tel que n = 2k + 1 et donc n 2 = 4k 2 + 4k + 1 =>
n 2 - 1 = 4k
2 + 4k = 4k(k + 1) il suffit de montrer que k(k + 1) est pair.Toute proposition demontree vraie est appelee theoreme (par exemple le theoreme de PYTHAGORE, Thales...) La negation (nonP) , P : Definition 1.4.(1) 2 est un nombre pair et 3 est un nombre premier, cette proposition est vraie (2) 3 <= 2 et 4 >= 2, cette proposition est fausse.On dit que P <=> Q si P et Q ont la meme valeur de verite, sinon (P <=> Q) est fausse.Vraie (cela veut dire que chaque etudiant a un groupe sanguin).(b) On suppose que P(n) est vraie a l'ordre n (c) On montre que P(n + 1) est vraie a l'ordre n + 1 Alors P est vrai pour tous n >= n0.IN par l'absurde supposons que n 2 est pair et n est impair, alors ?k ?Ce que nous avons suppose au depart
est faux c'est a dire ?n ?(1) Montrons que sa contraposee :( n est impair => (n 2 - 1) est
divisible par 8) est vraie.(1) Tout nombre premier est pair , cette proposition est fausse.Q) est vraie si P et Q le sont toutes les deux.x <= 3 .Vraie
(2) Il pleut, alors je prends mon parapluie.(2) La reciproque de : (Il pleut, alors je prends mon parapluie), est : (je prends mon parapluie, alors il pleut).l'equivalence de deux propositions P, Q est notee P <=> Q, on peut aussi ecrire (P => Q) et (Q => P).La relation pour tous x tel que P(x) est notee : ?x, P(x) se lit quel que soit x, P(x).E, ?y ?, P(x, y) veut dire y depend x , par une certaine relation f telle que y = f(x).Q est vraie et on tombe sur une contradicition.(c) On montre que 1 + 2 + ... + n + 1 = (n+1)(n+2) 2 est vraie, 1 + 2 +...+n + 1 = 1 + 2 +...+n + (n + 1) = n(n+1)
2 + (n + 1) = (n+1)(n+2) 2
ainsi P est vraie a l'ordre n + 1 alors ?n ?(2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?(3) Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est-il pair ou impair ?(2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?(3) Le produit d'un nombre pair et d'un nombre impair est-il pair ou impair ?2 est un nombre irrationnel, cette proposition est vraie (3) 2 est inferieure a 4, cette proposition est vraie Definition 1.3.Q) est fausse dans les autres cas.5)La contraposee de l'implication Soit P, Q deux propositions, la contraposee de (P => Q) est (Q => P), on a
(P => Q) <==> (Q => P)
Remarque 1.14.(2) La negation de : (Omar a gagne au loto => Omar a joue au loto), est : (Omar a gagne au loto et Omar n'a pas joue au loto).ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES preuve.Il existe un et un seul element x de E c'est a dire un unique x, P(x) est notee : ?!x ?(2) Il existe un groupe sanguin pour tous les etudiants de la section 1.(n est un nombre pair )=> (n
2+1 est pair), fausse car pour
n = 2, 4 + 1 = 5 n'est pas pair, c'est un contre-exemple.(1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?IR : 2x - 2x = 0 (meme si 2x + y !> 0) ou bien on peut dire que ?x ?ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES (2) Soit n ?Par contraposee, montrer que (1) Si (n 2 - 1) n'est pas divisible par 8 => n est pair.(2) P : la fonction f est positive, alors eP : la fonction f n'est pas positive. Soit P, Q deux propositions
P Q P ?la disjonction est un connecteur logique ou , ?(2) La contraposee de :( Omar a gagne au loto => Omar a joue au loto), est : (Omar n'a pas joue au loto => Omar n'a pas gagne au loto).la relation il existe un x tel que P(x) est notee : ?x, P(x).(1) Tous les etudiants de la section 1 ont un groupe sanguin. IR : x + y = 0) est vraie en effet ?x ?(3) On peut permuter entre deux quantificateurs de la meme nature :
?x, ?y, P(x, y) <=> ?y, ?x, P(x, y).(5) Raisonnement par recurrence Pour montrer que P(n) : ?n ?ELEMENT DE LOGIQUE ET METHODES DE RAISONNEMENT AVEC EXERCICES CORRIGES (3) ?x ?(4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carre est pair ?Z} l'ensemble des nombres pairs.Z} l'ensemble des nombres impairs.(4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carre est pair ?Par l'absurde montrer que : (1) ?Exemple 1.2.(2) ?1.1.7
82.[0, 1] ?102.1.3.3.(2) ?> 0, ??< ?< .142.> 0, ??< ?> 0, ??< ??3.(2) (?3.
Élément de logique et méthodes de raisonnement avec
Exercices Corrigés
Définition 1.1. une proposition est une expression mathématique à laquelle on
peut attribuer la valeur de vérité vrai ou faux.
Exemple 1.2. (1) Tout nombre premier est pair , cette proposition est
fausse.
(2) √
2 est un nombre irrationnel, cette proposition est vraie
(3) 2 est inférieure à 4, cette proposition est vraie
Définition 1.3. Toute proposition démontrée vraie est appelée théorème (par
exemple le théorème de PYTHAGORE, Thalès...)
La négation (nonP) , P :
Définition 1.4. Soit P une proposition, la négation de P est une proposition
désignant le contraire qu’on note (nonP), ou bien P , on peut aussi trouver la notation
eP. Voici sa table de vérité.
P P
1 0
0 1
Exemple 1.5. (1) Soit E 6= ∅, P : (a ∈ E), alors P : (a /∈ E).
(2) P : la fonction f est positive, alors eP : la fonction f n’est pas positive.
(3) P : x + 2 = 0, alors (nonP) : x + 2 6= 0.
1.1. Les connecteurs logiques. Soit P, Q deux propositions
7
P Q P ∧ Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 0
Exemple 1.7. (1) 2 est un nombre pair et 3 est un nombre premier, cette
proposition est vraie
(2) 3 ≤ 2 et 4 ≥ 2, cette proposition est fausse.
2) La disjonction ou , ∨
Définition 1.8. la disjonction est un connecteur logique ou , ∨ , on
note la disjonction entre P, Q par (P ou Q),(P ∨ Q). P ∨ Q est fausse si P et Q sont
fausses toutes les deux, sinon (P ∨ Q) est vraie.
On résume tout ça dans la table de vérité suivante.
P Q P ∨ Q
1 1 1
1 0 1
0 1 1
0 0 0
Exemple 1.9. (1) 2 est un nombre pair ou 3 est un nombre premier. Vraie.
(2) 3 ≤ 2 ou 2 ≥ 4. Fausse.
3)L’implication
Définition 1.10. L’implication de deux propositions P, Q est notée : P ⇒ Q on
dit P implique Q ou bien si P alors Q. P ⇒ Q est fausse si P est vraie et Q est fausse,
sinon (P ⇒ Q) est vraie dans les autres cas.
P Q P ⇒ Q
1 1 1
1 0 0
0 1 1
0 0 1
Exemple 1.11. (1) 0 ≤ x ≤ 9 ⇒
√
x ≤ 3 .Vraie
(2) Il pleut, alors je prends mon parapluie. Vraie c’est une conséquence.
(3) Omar a gagné au loto ⇒ Omar a joué au loto. Vraie c’est une conséquence.
4)La réciproque de l’implication
0 ≤ x ≤ 9.
(2) La réciproque de : (Il pleut, alors je prends mon parapluie), est : (je prends
mon parapluie, alors il pleut).
(3) La réciproque de : (Omar a gagné au loto ⇒ Omar a joué au loto), est :
(Omar a joué au loto ⇒ Omar a gagné au loto).
5)La contraposée de l’implication Soit P, Q deux propositions, la contraposée
de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P), on a
(P ⇒ Q) ⇐⇒ (Q ⇒ P)
Remarque 1.14. (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P) ont la même table de vérité, i.e., la même
valeur de vérité.
Exemple 1.15. (1) La contraposée de :(Il pleut, alors je prends mon para-
pluie), est (je ne prends pas mon parapluie, alors il ne pleut pas).
(2) La contraposée de :( Omar a gagné au loto ⇒ Omar a joué au loto), est :
(Omar n’a pas joué au loto ⇒ Omar n’a pas gagné au loto).
6)La négation d’une implication
Théorème 1.16. Soit P, Q deux propositions on a
(P ⇒ Q) ⇔ (P ∧ Q).
Exemple 1.17. (1) La négation de : (il pleut, alors je prends mon parapluie),
est : (il pleut et je ne prends pas mon parapluie).
(2) La négation de : (Omar a gagné au loto ⇒ Omar a joué au loto), est : (Omar
a gagné au loto et Omar n’a pas joué au loto).
(3) (x ∈ [0, 1] ⇒ x ≥ 0) sa négation : (x ∈ [0, 1] ∧ x < 0).
Conclusion
(1) La négation de (P ⇒ Q) est (P ∧ Q).
(2) La contraposée de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P).
(3) La réciproque de (P ⇒ Q) est (Q ⇒ P).
Remarque 1.18. (P ⇒ Q) ⇔ (P ∨ Q).
7)L’équivalence
Définition 1.19. l’équivalence de deux propositions P, Q est notée P ⇔ Q, on
peut aussi écrire (P ⇒ Q) et (Q ⇒ P). On dit que P ⇔ Q si P et Q ont la même
valeur de verité, sinon (P ⇔ Q) est fausse.
P Q P ⇔ Q
1 1 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
Remarque 1.20. (1) P < Q c’est à dire P n’est pas équivalente à Q lorsque
P ; Q ou Q ; P.
(2) P ⇔ Q peut être lue P si et seulement si Q.
Exemple 1.21. (1) x + 2 = 0 ⇔ x = −2.
(2) Omar a gagné au loto < Omar a joué au loto.
Théorème 1.22. Soit P, Q deux propositions on a :
(P ⇔ Q) ⇔ (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P).
preuve.
P Q P ⇒ Q Q ⇒ P (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P) (P ⇔ Q)
1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 0
0 1 1 0 0 0
0 0 1 1 1 1
8)Propriétés des connecteurs logiques Quelle que soit la valeur de vérité des
propositions P, Q, R les propriétés suivantes sont toujours vraies.
(1) P ∨ P.
(2) P ⇔ P.
(3) P ∧ P ⇔ P.
(4) P ∧ Q ⇔ Q ∧ P. Commutativité de ∧
(5) P ∨ Q ⇔ Q ∨ P. Commutativité de ∨
(6) ((P ∧ Q) ∧ R) ⇔ (P ∧ (Q ∧ R)). Associativité de ∧
(7) ((P ∨ Q) ∨ R) ⇔ (P ∨ (Q ∨ R)). Associativité de ∨
(8) P ∨ P ⇔ P
(9) P ∨ (Q ∧ R) ⇔ (P ∨ Q) ∧ (P ∨ R)).
(10) P ∧ (Q ∨ R) ⇔ (P ∧ Q) ∨ (P ∧ R)).
(11) P ∧ (P ∨ Q) ⇔ P.
(12) P ∨ (P ∧ Q) ⇔ P.
(13) P ∧ Q ⇔ P ∨ Q Lois de Morgan
(14) P ∨ Q ⇔ P ∧ Q Lois de Morgan
(15) (P ⇒ Q) ⇔ (P ∨ Q) ⇔ (Q ⇒ P).
preuve. (13)
P Q P Q P ∧ Q P ∧ Q P ∨ Q
1 1 0 0 1 0 0
1 0 0 1 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
0 0 1 1 0 1 1
(14)
P Q P Q P ∨ Q P ⇒ Q Q ⇒ P
1 1 0 0 1 1 1
1 0 0 1 0 0 0
0 1 1 0 1 1 1
0 0 1 1 1 1 1
1.2. Les quantificateurs.
(1) Quantificateur universel ∀
La relation pour tous x tel que P(x) est notée : ∀x, P(x) se lit quel que soit
x, P(x).
(2) Quatificateur existentiel ∃
la relation il existe un x tel que P(x) est notée : ∃x, P(x).
Remarque 1.23. Il existe un et un seul élément x de E c’est à dire un unique x,
P(x) est notée : ∃!x ∈ E, P(x)
Exemple 1.24. Ecrire à l’aide des quantificateurs les propositions suivantes :
(1) P(x) : La fonction f est nulle pour tous x ∈ IR devient
P(x) : ∀x ∈ IR, f(x) = 0.
(2) P(x) : la fonction f s’annule en x0 devient
P(x) : ∃x0 ∈ IR, f(x0) = 0.
Remarque 1.25. Les relations ∀x, ∃y, P(x, y) et ∃y, ∀x, P(x, y) sont différentes,
dans la première y dépend de x tandis que dans la seconde y ne dépend pas de x.
∀x, ∀y, P(x, y) ⇔ ∀y, ∀x, P(x, y).
∃x, ∃y, P(x, y) ⇔ ∃y, ∃x, P(x, y).
Exemple 1.28. (1) la négation de ∀ > 0, ∃q ∈ Q+ tel que : 0 < q <
est : ∃ > 0, ∀q ∈ Q+ tel que : q ≤ 0 ou q ≥
2. Méthodes de raisonnement
Pour montrer que (P ⇒ Q) est vraie on peut utiliser ce qui suit :
(1) Méthode de raisonnement direct
On suppose que P est vraie et on démontre que Q l’est aussi.
Exemple 2.1. Montrons que pour n ∈ IN si n est pair ⇒ n
2
est pair.
On suppose que n est pair, i.e., ∃k ∈ Z, n = 2k donc
n.n = 2(2k
2
) ⇒ n
2 = 2k
0
on pose k
0 = 2k
2 ∈ Z ainsi ∃k
0 ∈ Z, n2 = 2k
0
, n
2
est pair, d’où le résultat.
(2) Méthodes du raisonnement par la contraposée
Sachant que (P ⇒ Q) ⇔ (Q ⇒ P), pour montrer que P ⇒ Q on utilise la
contraposée, c’est à dire il suffit de montrer que Q ⇒ P de manière directe,
on suppose que Q est vraie et on montre que P est vraie.
Exemple 2.2. Montrons que n
2
est impair ⇒ n est impair. Par contrapo-
sée il suffit de montrer que si n est pair ⇒ n
2
est pair voir l’exemple précédent.
(3) Raisonnement par l’absurde
Pour montrer que R est une proposition vraie on suppose que R est vrai et on
tombe sur une contradiction (quelque chôse d’absurde), quand R : P ⇒ Q est
une implication par l’absurde on suppose que R : R ∧ Q est vraie et on tombe
sur une contradicition.
Exemple 2.3. (a) Montrer que √
2 est un irrationnel.
(b) n est pair ⇒ n
2
est pair, par l’absurde : on suppose que n est pair et que
n
2
est impaire contradiction
(4) Contre exemple
Pour montrer qu’une proposition est fausse il suffit de donner ce qu’on appelle
un contre-exemple c’est à dire un cas particulier pour lequel la proposition est
fausse.
Exemple 2.4. (n est un nombre pair )⇒ (n
2+1 est pair), fausse car pour
n = 2, 4 + 1 = 5 n’est pas pair, c’est un contre-exemple.
(5) Raisonnement par recurrence
Pour montrer que P(n) : ∀n ∈ IN, n ≥ n0, Pn(x) est vraie on suit les étapes
suivantes :
(a) On montre que P(n0) est vraie, (valeur initiale).
(b) On suppose que P(n) est vraie à l’ordre n
(c) On montre que P(n + 1) est vraie à l’ordre n + 1
Alors P est vrai pour tous n ≥ n0.
Exemple 2.5. Montrer ∀n ∈ IN∗
: 1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
(a) Pour n = 1, P(1) est vraie 1 = 1(2)
2
.
(b) On suppose que 1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
est vraie.
(c) On montre que 1 + 2 + ... + n + 1 = (n+1)(n+2)
2
est vraie,
1 + 2 +...+n + 1 = 1 + 2 +...+n + (n + 1) = n(n+1)
2 + (n + 1) = (n+1)(n+2)
2
ainsi P est vraie à l’ordre n + 1 alors ∀n ∈ IN∗
: 1 + 2 + ... + n =
n(n+1)
2
est vraie.
Exercice 1. Donner la négation des propositions suivantes :
(1) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR, 2x + y > 3.
(2) ∀ > 0, ∃α > 0, |x| < α ⇒ |x
2
| < .
, pour tous n ∈ IN tel que : |Un| ≤ M.
Solution . (1) P : ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR, 2x + y > 3
⇔ P : ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR, 2x + y ≤ 3.
(2) P : ∀ > 0, ∃α > 0, |x| < α ⇒ |x
2
| <
⇔ P : ∃ > 0, ∀α > 0, |x| < α ∧ |x
2
| ≥
(3) P : ∀x ∈ IR,((x = 0) ∨ (x ∈]2, 4]))
⇔ P : ∃x ∈ IR, x 6= 0 ∧ (x ≤ 2 ∨ x > 4).
(4) P : il existe M ∈ IR+
, pour tous n ∈ IN tel que : |Un| ≤ M
⇔ P : pour tous M ∈ IR+
, il existe n ∈ IN tel que :|Un| > M.
Remarque 3.1. (1) a < b veut dire (a < b) ∧ (a 6= b) sa négation est :
(a > b) ∨ (a = b) c’est à dire a ≥ b.
(2) a < b < c veut dire (a < b) ∧ (b < c) sa négation est : (a ≥ b) ∨ (b ≥ c).
Exercice 2. Exprimer les assertions suivantes à l’aide des quantificateurs et
répondre aux questions :
(1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?
(2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?
(3) Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est-il pair ou impair ?
(4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair ?
Solution . (1) Le produit de deux nombres pairs est-il pair ?
Soit P = {2k/k ∈ Z} l’ensemble des nombres pairs.
∀n, m ∈ P, n × m ∈ P?
Soient n, m ∈ P, alors ∃k1 ∈ Z/n = 2k1, ∃k2 ∈ Z/m = 2k2 d’où n × m =
2(2k1k2) = 2k3, ainsi ∃k3 = 2k1k2 ∈ Z/n × m = 2k3 ⇒ n × m ∈ P le produit
est pair.
(2) Le produit de deux nombres impairs est-il impair ?
Soit I = {2k + 1/k ∈ Z} l’ensemble des nombres impairs. ∀n, m ∈ I, n × m ∈
I ?
Soient n, m ∈ I, alors ∃k1 ∈ Z/n = 2k1 + 1, ∃k2 ∈ Z/m = 2k2 + 1 d’où
n × m = 2(2k1k2 + k1 + k2) + 1 = 2k3 + 1, ainsi ∃k3 = 2k1k2 + k1 + k2 ∈
Z/n × m = 2k3 + 1 ⇒ n × m ∈ I le produit est impair.
(3) Le produit d’un nombre pair et d’un nombre impair est-il pair ou impair ?
∀n ∈ P, m ∈ I, n × m ∈ P?, n × m ∈ I?
Soient n ∈ P, m ∈ I, alors ∃k1 ∈ Z/n = 2k1, ∃k2 ∈ Z/m = 2k2 + 1 d’où
n × m = 2(2k1k2 + k1) = 2k3, ainsi ∃k3 = 2k1k2 + k1 ∈ Z/n × m = 2k3 ⇒
n × m ∈ I le produit est pair.
(4) Un nombre entier est pair si et seulement si son carré est pair ?
∀n ∈ Z, n pair ⇔ n
2
est pair.
Montrons que n pair ⇒ n
2
est pair.
Soit n ∈ P, alors ∃k1 ∈ Z/n = 2k1, d’où n
2 = n.n = 2(2k
2
1
), ainsi ∃k2 = 2k
2
1 ∈
Z/n2 = 2k2 il est pair.
Montrons que n
2 pair ⇒ n est pair.
Par contraposée, on doit montrer que n est impair ⇒ n
2
est impair, c’est vrai
cas particulier de la question 2), ainsi la proposition n
2 pair ⇒ n est pair est
vérifiée, de plus n pair ⇒ n
2
est pair ⇒ ∀n ∈ Z, n pair ⇔ n
2
est pair est vraie.
Exercice 3. Indiquer lesquelles des propositions suivantes sont vraies et celles
qui sont fausses.
(1) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : 2x + y > 0.
(2) ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : 2x + y > 0.
(3) ∀x ∈ IR, ∀y ∈ IR : 2x + y > 0.
(4) ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR : 2x + y > 0.
(5) ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : y
2 > x.
(6) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : (2x + y > 0 ou 2x + y = 0).
(7) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : (2x + y > 0 et 2x + y = 0).
Solution . (1) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : 2x + y > 0, est vraie car ∀x ∈ IR, ∃y =
−2x + 1 ∈ IR : 2x + y > 0.
(2) ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : 2x + y > 0, est fausse car , sa négation ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR :
2x + y ≤ 0, est vraie ∀x ∈ IR, ∃y = −2x ∈ IR; 2x + y ≤ 0
(3) ∀x ∈ IR, ∀y ∈ IR : 2x + y > 0, est fausse car sa négation ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR :
2x + y ≤ 0 est vraie , en effet ∃x = 0, ∃y = 0; 0 ≤ 0.
(4) ∃x ∈ IR, ∃y ∈ IR : 2x + y > 0, vraie car ∃x = 0, ∃y = 1; 1 > 0.
(5) ∃x ∈ IR, ∀y ∈ IR : y
2 > x, vraie ∃x = −1 ∈ IR, ∀y ∈ IR : x
2 > y.
(6) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : (2x + y > 0 ou 2x + y = 0), Vraie car ∀x ∈ IR, ∃y =
−2x ∈ IR : 2x − 2x = 0 (même si 2x + y ≯ 0) ou bien on peut dire que
∀x ∈ IR, ∃y = −2x + 1 : 2x − 2x + 1 = 1 > 0 (même si 2x + y 6= 0).
(7) ∀x ∈ IR, ∃y ∈ IR : (2x + y > 0 et 2x + y = 0) est fausse car on ne peut jamais
avoir (2x + y > 0 et 2x + y = 0) en même temps.
Exercice 4. Par l’absurde montrer que :
(1) √
2 ∈/ Q.
(2) ∀n ∈ IN, n2 pair ⇒ n est pair.
Solution . (1) Par l’absurde on suppose que √
2 est un rationnel i.e., ∃a, b ∈
IN,
a ∧ b = 1, /√
2 = a
b ⇒ a
2
b
2 ⇒ 2b
2 = a
2 alors 2 divise a, a est pair ∃k ∈ IN/n =
2k, ainsi
2b
2 = 4k
2 ⇔ b
2 = 2k
2
,
on déduit que b est pair aussi or a, b sont premier entre eux contradiction, ce
que nous avons supposé au départ est faux c’est à dire √
2 ∈/ Q.
Z tel que n = 2k+1 d’où n
2 = 2(2k
2+2k)+1 = 2k
0+1, k0 = (2k
2+2k) ∈ Z, n2
est impair contradiction car n
2
est pair. Ce que nous avons supposé au départ
est faux c’est à dire ∀n ∈ IN, n2 pair ⇒ n est pair est vraie.
Exercice 5. Par contraposée, montrer que
(1) Si (n
2 − 1) n’est pas divisible par 8 ⇒ n est pair.
(2) (∀ > 0, |x| ≤ ) ⇒ x = 0.
Solution . (1) Montrons que sa contraposée :( n est impair ⇒ (n
2 − 1) est
divisible par 8) est vraie.
Soit n impair alors ∃k ∈ Z tel que n = 2k + 1 et donc n
2 = 4k
2 + 4k + 1 ⇒
n
2 − 1 = 4k
2 + 4k = 4k(k + 1) il suffit de montrer que k(k + 1) est pair.
Montrons que k(k + 1) est pair on a deux cas :
Si k est pair alors k + 1 est impair donc le produit d’un nombre pair et d’un
nombre impair est pair voir exercice 2 question (3).
Si k est impair, alors k + 1 est pair donc le produit est pair c’est le même
raisonnement, (il faut savoir que le produit de deux nombre consécutifs est
toujours pair).
Ainsi k(k + 1) est pair ∃k
0 ∈ Z/k(k + 1) = 2k
0
, d’où n
2 − 1 = 4(2k
0
) = 8k
0 ⇒
n
2 − 1 est divisible par 8.
(2) Montrons que sa contraposée :( x 6= 0 ⇒ (∃ > 0, |x| > )) est vraie.
Soit x 6= 0, il existe =
x
2 > 0 tel que |x| >
x
2
car x 6= 0 d’où le résultat.
Exercice 6. Montrer par récurrence que
– ∀n ∈ IN∗
: 13 + 23 + ... + n
3 =
n
2
(n+1)2
4
– ∀n ∈ IN∗
, 4
n + 6n − 1 est un multiple de 9.
Solution . – Montrons que ∀n ∈ IN∗
: 13 + 23 + ... + n
3 =
n
2
(n+1)2
4
.
(1) Pour n = 1 on a : 1
3 =
1
2
(2)2
4 = 1, P(1) est vraie.
(2) On suppose que :1
3 + 23 + ... + n
3 =
n
2
(n+1)2
4
est vraie.
(3) On montre que :1
3 + 23 + ... + (n + 1)3 =
(n+1)2
(n+2)2
4
est vraie. En utilisant
p(n) on obtient :
1
3 + 23 + ... + (n + 1)3 = 13 + 23 + ... + n
3 + (n + 1)3 =
n
2
(n + 1)2
4
1
3 + 23 + ... + (n + 1)3 =
n
2
(n + 1)2 + 4(n + 1)3
4
1
3 + 23 + ... + (n + 1)3 =
(n + 1)2
(n
2 + 2)2
4
.
Ainsi P(n + 1) est vraie , alors ∀n ∈ IN∗
: 13 + 23 + ... + n
3 =
n
2
(n+1)2
4
.
– Montrons que ∀n ∈ IN∗
, 4
n + 6n − 1 est un multiple de 9, c’est à dire ∀n ∈
IN∗
, ∃k ∈ Z/4
n + 6n − 1 = 9k.
, ∃k ∈ Z/4
n + 6n − 1 = 9k est vraie.
(3) On montre que : ∀n ∈ IN∗
, ∃?k
0 ∈ Z/4
n+1 + 6(n + 1) − 1 = 9k
0
. est vraie.
4
n+1 + 6(n + 1) − 1 = 4.4
n + 6n + 6 − 1
= (9 − 5)4n + 6n + 5
= 9.4
n − 5.4
n − 5(6n) + 36n + 5
= −5(4n + 6n − 1) + 9.4
n + 36n, en utilisant Pn
= −5(9k) + 9.4
n + 9.(4n) = 9(−5k + 4n + 4n)
⇒ ∃k
0 = −5k + 4n + 4n ∈ Z 4
n+1 + 6(n + 1) − 1 = 9k
تلخيص النصوص العربية والإنجليزية اليا باستخدام الخوارزميات الإحصائية وترتيب وأهمية الجمل في النص
يمكنك تحميل ناتج التلخيص بأكثر من صيغة متوفرة مثل PDF أو ملفات Word أو حتي نصوص عادية
يمكنك مشاركة رابط التلخيص بسهولة حيث يحتفظ الموقع بالتلخيص لإمكانية الإطلاع عليه في أي وقت ومن أي جهاز ماعدا الملخصات الخاصة
نعمل علي العديد من الإضافات والمميزات لتسهيل عملية التلخيص وتحسينها
لقد حقق القسم إنجازات متعددة تعكس دوره المحوري في مواجهة تحديات التغيرات المناخية في القطاع الزراعي....
1. قوة عمليات الاندماج والاستحواذ المالية في المشهد الديناميكي للأعمال الحديثة، ظهرت عمليات الاندماج...
اﻷول: اﻟﺒﺤﺚ ﻋﻠﻰ ﺗﺸﺘﻤﻞ ﺗﻤﮭﯿﺪﯾﺔ ﻣﻘﺪﻣﮫ ﺳﻨﻀﻊ اﻟﻤﺒﺤﺚ ھﺬا ﻓﻲ ﺳﺘﻜﻮن ﺧﻼﻟﮭﺎ ﻣﻦ واﻟﺘﻲ اﻟﻌﻼﻗﺔ ذﻟﺒﻌﺾ ھﺎﻌﻠﻮم ﻔﺎت ...
الوصول إلى المحتوى والموارد التعليمية: تشكل منصات وسائل التواصل الاجتماعي بوابة للدخول إلى المحتوى ...
ـ أعداد التقارير الخاصه بالمبيعات و المصاريف والتخفيضات و تسجيل الايرادات و المشتريات لنقاط البيع...
وهي من أهم مستحدثات تقنيات التعليم التي واكبت التعليم الإلكتروني ، والتعليم عن والوسائط المتعدد Mult...
كشفت مصادر أمنية مطلعة، اليوم الخميس، عن قيام ميليشيا الحوثي الإرهابية بتشديد الإجراءات الأمنية والر...
أولاً، حول إشعياء ٧:١٤: تقول الآية: > "ها إن العذراء تحبل وتلد ابنًا، وتدعو اسمه عمانوئيل" (إشعياء...
يفهم الجبائي النظم بأنّه: الطريقة العامة للكتابة في جنس من الأجناس الأدبية كالشعر والخطابة مثلاً، فط...
أعلن جماعة الحوثي في اليمن، اليوم الخميس، عن استهداف مطار بن غوريون في تل أبيب بصاروخ باليستي من نوع...
اهتم عدد كبير من المفكرين والباحثين في الشرق والغرب بالدعوة إلى إثراء علم الاجتماع وميادينه، واستخدا...
وبهذا يمكن القول في هذه المقدمة إن مصطلح "الخطاب" يعدُّ مصطلحًا ذا جذور عميقة في الدراسات الأدبية، ح...