Lakhasly

العمل إلى الوراء
في الظاهر، يبدو عنوان استراتيجية حل المشكلات هذه محيرًا.
وينبع هذا من عدم الإلمام بهذا الإجراء. منذ أيامهم الأولى في المدرسة،
يتم تعليم الطلاب عادةً كيفية حل المشكلات بأكثر الطرق المباشرة
الممكنة. هذه هي الطريقة التي يتم بها حل المشكلات النموذجية في
كتب الرياضيات. ولسوء الحظ، فإن جزءًا كبيرًا من "حل المشكلات"
المفترض هذا يتم عن طريق الحفظ عن ظهر قلب. يواجه الطلاب
مشكلة واحدة في القسم، وعادةً ما يكشف المعلم عن "حل نموذجي"، ويتم
حل بقية "المشكلات" في القسم بطريقة مماثلة. مطلوب القليل من
التفكير الخيالي من الطلاب. في الواقع، نحن لا نعتبرها حتى مشاكل؛
وبدلاً من ذلك، نشير إليها على أنها تمارين، هدفها ببساطة هو تعزيز
طريقة معينة للحل من خلال الاستخدام المتكرر. في دورة الهندسة
النموذجية في المدرسة الثانوية، عندما يُطلب من الطلاب أولاً كتابة البراهين،
فإنهم يبحثون مرة أخرى عن طرق يمكنهم من خلالها تكرار الإجراءات
السابقة لحل المشكلات المتعاقبة. نحن نسعى إلى تمكين الطلاب
من التشكيك في قيمة تعلم الرياضيات عن طريق الحفظ فقط. ومن
ثم يكون هؤلاء الطلاب أكثر تقبلاً لاستراتيجية حل المشكلات
المقدمة هنا، أي العمل بشكل عكسي.
يعد تطوير جدول زمني مثالًا واقعيًا آخر لاستخدام استراتيجية
العمل العكسي. عندما يقوم الأشخاص بوضع جدول زمني لمختلف المهام
التي يجب إكمالها في وقت معين، فإنهم غالبًا ما يبدأون بما يجب القيام
به، والوقت الذي يجب أن يكتمل فيه كل العمل، والمدة التي يجب أن تستغرقها
كل مهمة. ثم يعملون بشكل عكسي لتعيين "فترات" زمنية لكل مهمة،
وبالتالي الوصول إلى الوقت المناسب لبدء العمل.
تُستخدم أيضًا استراتيجية العمل العكسي على نطاق واسع
كل يوم في التحقيقات المرورية. عندما تواجه الشرطة حادث سيارة، يجب
عليها البدء بالعمل بشكل عكسي من وقت وقوع الحادث لتحديد
الأسباب، أي سيارة انحرفت قبل الاصطدام مباشرة، ومن الذي أصاب من،
من هو السائق المخطئ، وما هي الظروف الجوية وقت وقوع الحادث،
وما إلى ذلك، أثناء محاولتهم إعادة بناء الحادث.
عندما ننظر إلى الإجراءات التي تظهر في العديد من تمارين الكتب
المدرسية النموذجية، يتم أحيانًا تقديم بعض التقنيات المفيدة جدًا. ولكن
لسوء الحظ، غالبًا ما يتم اعتبار التقنيات أمرًا مفروغًا منه ولا يتم لفت
انتباه الطلاب إليها. قد يُطلب من الطلاب التفكير بترتيب عكسي، على
الرغم من أنه لم يُطلب منهم القيام بذلك. أحد الأمثلة الواضحة، مرة أخرى، هو
الإجراء الذي يجب على الطلاب استخدامه عند كتابة البراهين في مقرر الهندسة
بالمدرسة الثانوية. يجب عليهم البدء بفحص ما يحاولون إثباته قبل
القيام بأي شيء آخر. وبالتالي، فإن محاولة إثبات تطابق القطع المستقيمة
قد تنبع من إثبات تطابق زوج من المثلثات. وهذا بدوره يجب أن يوحي بأن
يبحث الطلاب عن الأجزاء الضرورية للوصول إلى تطابق المثلث. وباستمرار
بهذه الطريقة، سيتم توجيه الطلاب إلى فحص المعلومات المقدمة. إنهم، في
جوهرهم، يعملون إلى الوراء. عندما يكون الهدف فريدًا، ولكن هناك العديد من
نقاط البداية المحتملة، يبدأ حل المشكلات الذكي في العمل بشكل عكسي
من النتيجة المرغوبة إلى النقطة التي يتم فيها الوصول إلى المعلومات
المعطاة.
يجب أن نؤكد أنه عندما تكون هناك نقطة نهاية فريدة (هنا، ما يجب
إثباته) ومجموعة متنوعة من المسارات للوصول إلى نقطة البداية، فقد
تكون استراتيجية العمل العكسي مرغوبة. لا تزال طريقة "العمل
للأمام" هي الطريقة الأكثر طبيعية لحل المشكلة. في الواقع،
يتم استخدام العمل في الاتجاه الأمامي لحل معظم المشكلات. نحن لا نقول
أن حل جميع المشاكل يجب أن تتم من خلال استراتيجية العمل العكسي.
بدلا من ذلك، بعد فحص النهج الطبيعي (عادة "إلى الأمام")، يمكن
تجربة استراتيجية عكسية لمعرفة ما إذا كانت توفر حلا أكثر كفاءة،
وأكثر إثارة للاهتمام، أو أكثر إرضاء للمشكلة.
استراتيجية العمل العكسي
في مواقف حل مشكلات الحياة اليومية
يعتمد أفضل أسلوب لتحديد المسار الأكثر كفاءة من مدينة إلى أخرى
على ما إذا كانت نقطة البداية أو الوجهة (نقطة النهاية) بها المزيد من طرق
الوصول. عندما يكون هناك عدد أقل من الطرق المؤدية من نقطة البداية، فإن
الطريقة الأمامية عادة ما تكون متفوقة. ومع ذلك، عندما يكون هناك العديد من
الطرق المؤدية من نقطة البداية وواحدة أو اثنتين فقط من الوجهة، فإن الطريقة
الفعالة لتخطيط الرحلة هي تحديد موقع هذه الوجهة النهائية على الخريطة،
وتحديد الطرق التي تؤدي بشكل مباشر إلى موضع البداية، ثم حدد الطريق
الأكبر الذي يؤدي إليه طريق الوصول "الأخير". وبالتدريج، ومن خلال
الاستمرار بهذه الطريقة (أي العمل إلى الوراء)، يصل المرء إلى طريق مألوف
يمكن الوصول إليه بسهولة من نقطة البداية. في هذه الخطوة سيكون لديك
خططت للرحلة بطريقة منهجية للغاية.
• يجب على البائع أو المسؤول التنفيذي الذي لديه موعد في مدينة بعيدة
تحديد الرحلة التي سيستقلها للوصول بشكل مريح في الوقت المحدد لاجتماعه،
ولكن ليس ببعيد جدًا مقدمًا. يبدأ بفحص جدول شركات الطيران، بدءًا
مع موعد الوصول الأقرب لموعده. هل سيصل في الوقت المناسب؟ هل هو "يقطعها
قريباً جداً"؟ إذا كان الأمر كذلك، فهو يفحص وقت الوصول المبكر التالي. هل هذه المرة
بخير؟ ماذا لو كان هناك تأخير الطقس؟ متى تكون الرحلة السابقة التالية؟ وبالتالي،
من خلال العمل بشكل عكسي، يمكن للمسؤول التنفيذي أن يقرر الرحلة الأكثر
ملاءمة للوصول إلى موعده في الوقت المحدد.
عندما يعلن طالب جديد في المدرسة الثانوية لمستشار التوجيه عن
رغبته في الالتحاق بإحدى مدارس Ivy League الكبرى ويريد معرفة الدورات
التدريبية التي يجب الالتحاق بها، فإن المستشار عادة ما ينظر في ما تتطلبه
الكلية المحتملة. عند هذه النقطة، يبدأ المستشار في بناء برنامج الطالب للسنوات
الأربع القادمة من خلال العمل بشكل عكسي من دورات تحديد المستوى المتقدم
التي يتم أخذها عادةً في السنة الأخيرة. ومع ذلك، لكي يكون الطالب مستعدًا
لأخذ هذه الدورات، يجب عليه أولاً أن يأخذ بعض الدورات الأساسية كطالب
جديد، وطالب في السنة الثانية، ومبتدئ. على سبيل المثال، لإجراء اختبار تحديد
المستوى المتقدم في حساب التفاضل والتكامل خلال السنة الأخيرة، يجب على
الطالب أن يأخذ وظائف كطالب مبتدئ، والهندسة كطالب في السنة الثانية، والجبر
كطالب جديد. كما ذكرنا سابقًا، عندما يكون هناك هدف نهائي واحد ونحن مهتمون
باكتشاف الطريق إلى نقطة البداية، تكون لدينا فرصة جيدة لاستخدام استراتيجية
العمل العكسي.
تعد اللعبة الإستراتيجية لـ NIM مثالًا ممتازًا آخر عندما يكون
من المناسب استخدام إستراتيجية العمل العكسي. في أحد إصدارات اللعبة،
يواجه لاعبان 32 عود أسنان موضوعة في كومة بينهما. يأخذ كل لاعب بدوره 1،
2، أو 3 أعواد أسنان من الكومة. اللاعب الذي يأخذ المسواك الأخير هو الفائز. يقوم
اللاعبون بتطوير استراتيجية الفوز من خلال العمل بشكل عكسي من
الرقم 32 (أي، للفوز، يجب على اللاعب أن يلتقط المسواك رقم 28، أو المسواك
رقم 24، وما إلى ذلك). انطلاقًا من هذا الأسلوب من الهدف النهائي رقم 32،
نجد أن اللاعب الذي يفوز باختيار المسواك 28 و 24 و 20 و 16 و 12 و 8 و 4.
وبالتالي، فإن الإستراتيجية الفائزة هي السماح للخصم بالتقدم أولاً،
والمضي قدمًا كما أظهرنا. (انظر المشكلة 2.12 لمزيد من المناقشة المستفيضة.)
تطبيق استراتيجية العمل
العكسي لحل مسائل الرياضيات
على الرغم من أن العديد من المشكلات قد تتطلب بعض التفكير
العكسي (حتى ولو بدرجة صغيرة)، إلا أن هناك بعض المشكلات التي يمكن
تسهيل حلولها بشكل كبير من خلال العمل بشكل عكسي. النظر في المشكلة
التالية. انتبه إلى أن هذا ليس نموذجيًا للمناهج المدرسية بل هو درامي
توضيح لقوة العمل إلى الوراء.
مجموع رقمين هو 12 وحاصل ضرب نفس العددين
الرقم هو 4. أوجد مجموع مقلوب الرقمين.
سيقوم معظم الطلاب على الفور بإنشاء معادلتين؛ x + y =
12 و xy = 4، حيث يمثل x و y الرقمين. لقد تم تعليمهم حل
هذا الزوج من المعادلات في وقت واحد عن طريق الاستبدال. إذا لم
يرتكب الطلاب، في هذا المثال المعقد، أي أخطاء جبرية، فسيصلون
إلى زوج من القيم غير السارة إلى حد ما لـ x وy، أي x = 6 ± 4√2
وy=64√2 . ويجب عليهم بعد ذلك إيجاد مقلوب هذه الأعداد، وأخيرًا
مجموعها. فهل يمكن حل هذه المشكلة بهذه الطريقة؟ نعم بالطبع! ومع
ذلك، يمكن جعل عملية الحل المعقدة هذه أسهل بكثير من خلال البدء
من نهاية المشكلة، أي ما نرغب في العثور عليه،+. ربما يسأل
الطلاب أنفسهم الآن: "ماذا نفعل عادةً عندما نرى كسرين يتم جمعهما؟
كيف يمكننا جمعهما؟" وإذا حسبنا المبلغ بالطريقة المعتادة
نحصل على. ومع ذلك، بما أن x + y تم إعطاءها كـ 12 وxy كـ 4،
يصبح هذا الكسر = 3. (لاحظ أنه لم يُطلب من الطلاب أبدًا
العثور على القيم المحددة لـ x وy، بل طُلب منهم مجموع قيمهم
مقلوب.*)
يجب توخي الحذر بشكل خاص لتجنب جعل الطلاب، الذين يثبطونهم بسبب
إحباطاتهم، يتخذون الموقف القائل "لم أكن لأتمكن أبدًا من التوصل إلى هذا
الحل" الخادع "." في الواقع، يجب تشجيعهم على إدراك أن هذه الإستراتيجية
القيمة وغير العادية لحل المشكلات هي الإستراتيجية التي يجب أن يصبحوا على
دراية بها، وأن استخدامها يمكن تحقيقه بالفعل من خلال بعض الممارسات
الإضافية.
لا يزال هناك استخدام آخر لاستراتيجية العمل العكسي في الرياضيات
وهو البرهان غير المباشر أو البرهان بالتناقض. إن برهان إقليدس
على لانهائية الأعداد الأولية وبرهان أرسطو على لاعقلانية العدد v2 هما مثالان
ممتازان. وفي كلتا الحالتين، فإننا نفترض عكس ما نرغب في إثباته
ثم نعمل بشكل عكسي من هذا الافتراض حتى نصل إلى التناقض.
مشاكل في استخدام استراتيجية العمل إلى الوراء
المشكلة 2.1
تلعب إيفلين وهنري وآل لعبة معينة. يجب على اللاعب الذي يخسر كل جولة
أن يمنح كل من اللاعبين الآخرين نفس القدر من المال الذي يملكه
اللاعب في ذلك الوقت. في الجولة الأولى، تخسر إيفلين وتمنح هنري وآل
نفس القدر من المال الذي يملكه كل منهما. في الجولة الثانية، يخسر هنري
ويمنح إيفلين وآل نفس القدر من المال الذي كان يملكه كل منهما. آل يخسر
قد يكون من المفيد في بعض الأحيان النظر في إصدارات أخرى من المشكلات، حيث يتجاوز الحل
الأكثر أناقة، مثل الحل المستخدم هنا، الصعوبات المحتملة الأخرى. على سبيل المثال، هل اخترنا الصياغة
المشكلة في المعادلتين x + y 2 و xy = 3، فإن القيم الناتجة لـ x و y ستكون
كانت معقدة. هل يمكن أن يكون هذا مفيدًا في البرنامج التعليمي؟