لخّصلي

معامل الالتواء ل = = مكعب الانحراف المعياري (ع)3

المقدمه قياس التواءات التوزيعات الإحصائية على معرفة مقاييس النزعة المركزية وهي المتوسط الحسابي ، الوسيط ، الربيع الأول ، الربيع الثاني والمنوال.
ب‌- الوسيط
ت‌- المنوال
ث‌- منحنى متماثل

• المنحنى الموجب الالتواء : Positively Skewed
يكون التوزيع غير متماثل بحيث تتراكم معظم التكرارات حول الطرف السفلي للتوزيع وتقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف العلوي ، ويكون الطرف الأيمن للمنحنى ممتد وله ذيل متجه نحو اليمين ، وفي هذه الحالة يكون الوسط الحسابي أكبر من الوسيط ، والوسيط يسبق المتوسط .
وقد يرجع حدوث الالتواء الموجب إلى سهولة الاختبار مما أدى إلى حصول الجميع على درجات عالية ، أو نتيجة لاختيار عينة متميزة .
الوسيط المنوال
المتوسط
منحنى موجب الالتواء
• المنحنى السالب الالتواء : Negatively Skewed
يكون التوزيع غير متماثل بحيث تتراكم معظم التكرارات حول الطرف العلوي للتوزيع وتقل التكرارات كلما اتجهنا نحو الطرف السفلي ، ويكون الطرف الأيسر للمنحنى ممتد وله ذيل متجه نحو اليسار ، وفي هذه الحالة يكون الوسط الحسابي أقل من الوسيط ، والمتوسط يسبق الوسيط .
وقد يرجع حدوث الالتواء السالب إلى صعوبة الاختبار مما أدى إلى حصول الجميع على درجات منخفضة ، أو نتيجة لاختيار عينة منخفضة المستوى .
أ‌- الوسيط
ب‌- المتوسط
ت‌- المنوال
• منحنى سالب الالتواء
قياس الالتواء :
قياس الالتواء بطريقة بيرسون :
سبق الإشارة إلى تساوي قيم المتوسط والوسيط والمنوال في حالة التوزيع المتماثل ، وقد تختلف قيمها عن بعض في حالة التوزيع غير المتماثل ، بحيث يكون الوسيط في الوسط دائماً بينما يكون المتوسط في جهة القيم المتطرفة ( ذيل المنحنى الممتد ) حيث أنه يتأثر بها ، ويكون المنوال في الجهة الأخرى التي يتركز بها معظم قيم التوزيع ، ولذلك يمكن قياس الالتواء مبدئياً بالصيغة التالية .
• الالتواء = المتوسط - المنوال .
ولكن يعيب المقياس السابق للالتواء أنه ليس مقياس يعطي عدد مطلق حيث يأخذ نفس وحدة قياس المتغير ، كما أنه لا يأخذ في الاعتبار تشتت التوزيعات المختلفة ، فقد تكون قيمة الالتواء واحد لتوزيعين مختلفي التشتت مما يعطي الالتواء معنى مختلف في الحالتين ، وللتغلب على تلك العيوب يستخرج مقياس نسبي للالتواء وذلك بقسمة ( المتوسط - المنوال ) على الانحراف المعياري للتوزيع .
الوسط الحسابي - المنوال
معامل الالتواء = الانحراف المعياري
ويعطي هذا المقياس النسبي الذي قدمه " كارل بيرسون K. Person " إشارة سالبة للالتواء جهة اليسار ، وإشارة موجبة للالتواء جهة اليمين ، ولكن يعيبه استخدام المنوال الذي يصعب تقديره بدقة كبيرة من التوزيعات التكرارية .
وقد وجد " كارل بيرسون K. Person " أن الوسيط في التوزيعات التكرارية متوسطة الالتواء للمتغيرات المتصلة يقع عند ثلثي المسافة بين المنوال والمتوسط ولذلك استنتج الصيغة التالية لحساب الالتواء :
معامل الالتواء = = الانحراف المعياري ع
ويمتد الالتواء من -3 في الالتواء السالب الى +3 في الالتواء الموجب ويتلاشى الالتواء عندما يصبح الفرق بين الوسيط والوسط الحسابي صفراً وذلك عندما يكون التوزيع اعتدالياً .
مثال1 :
اذا كان متوسط توزيع ما = 86,90 ، والوسيط = 49,90 ، والانحراف المعياري = 04,14 ، احسب الالتواء .
3 ( 86,90 - 49,90 )
الالتواء = = 079,0
04,14
ونظراً لأن هذه القيمة قريبة جداً من الصفر ، فهذا يدل على أن التوزيع متماثل تقريباً أي أقرب مايكون للتوزيع الاعتدالي والتوزيع موجب الالتواء .( 5 : 83 )
مثال2 :
اذا كان متوسط توزيع ما = 55,50 ، والوسيط = 02,51 ، والانحراف المعياري = 04,14 ، احسب الالتواء .
3 ( 55,50 - 02,51 )
الالتواء = = - 057,0
14,8
ونظراً لأن هذه القيمة قريبة جداً من الصفر ، فهذا يدل على أن التوزيع متماثل تقريباً أي أقرب مايكون للتوزيع الاعتدالي والتوزيع سالب الالتواء .
• هناك مقاييس أخرى للالتواء منها :
أ‌- معامل الالتواء الربيعي : ( Quartile Coefficient Of Skewness )
في حالة التوزيعات المفتوحة ، يتم حساب الربيعيين الأول والثالث ، ثم حساب الالتواء باستخدلم الصيغة التالية التي قدمها بولي Bowley
( الربيعي الثالث - الربيعي الثاني ) - ( الربيعي الثاني - الربيعي الأول )
معامل الالتواء = ( الربيعي الثالث - الربيعي الأول )

وقد بني معامل الالتواء باستخدلم الربيعيات على أساس أنه في التوزيعات المتماثلة يقع الربيعيان على بعدين متساويين من الوسيط . وفي التوزيعات الملتوية يختلف بعدا هذين الربيعيين عن الوسيط ، وبذلك يكون الفرد بين بعديهما مقياساً للالتواء ، والمقام هو المدى الربيعي . وهذا المعامل ينحصر بين ( -1 ) ، ( +1 ) ، ونلاحظ أن هذا المقياس لا يأخذ في الاعتبار القيم الواقعة قبل الربيعي الأول وبعد الربيعي الثالث . ( 6 : 123 )
ب‌- معامل الالتواء المئيني : ( Percentile Coefficient Of Skewness )
ويستعمل المئينات في تعريفه وهو

( المئيني90 - المئيني50 ) - ( المئيني50 -المئيني10 )
معامل الالتواء =
( المئيني90 - المئيني10 )
( 3 : 48 )
ت‌- قياس الالتواء باستخدام العزوم :
العزوم حول المتوسط الحسابي :
في الحقيقة يمكن وصف التواء التوزيع بدرجة تقريبية بطرق مختلفة كما ذكرنا سابقاً.
أما اذا أردنا الحصول على مقاييس دقيقة وثابتة لوصف الالتواء والتفلطح فانه يفضل استخدام طريقة تعتمد على العزوم حول المتوسط الحسابي .
فالمتوسط الحسابي والانحراف المعياري يرتبطان بعائلة من المقاييس الاحصائية تسمى العزوم Moments ، والعزوم الأربعة الأولى حول المتوسط هي:
( في حالة الدرجات الخام )
مج ( س - سَ )
م1 = = صفر ن
مج ( س - سَ )2 ن - 1
م2 = = ع2
ن ع
مج ( س - سَ )3
م3 = ن
مج ( س - سَ )4
م4 = ن
ويرتبط مفهوم العزوم بعلم الميكانيكا . فاذا افترضنا أن لدينا رافعة مرتكزة على محور ، وأن هناك قوة ( ق1 ) تؤثر على ذراع الرافعة على مسافة ( س1 ) من المحور ، فان حاصل ضرب ( ق1×س1 ) تسمى عزم القوة حول المحور . واذا أثرت قوة أخرى ( ق2 ) على مسافة ( س2 ) من المحور . فان العزم الكلي يساوي( ق1×س1 + ق2×س2 ) واذا ربعنا المسافة (س) نحصل على العزم الثاني ، واذا رفعناها الى القوة الثالثة نحصل على العزم الثالث ، وهكذا .
وفي حالة التوزيعات التكرارية ، يمكن اعتبار نقطة الأصل تشبه محور ارتكاز الرافعة ، وتكرارات الفئات المختلفة تشبه القوى المؤثرة على مسافات مختلفة من نقطة الأصل .( 2 : 181-182 )
ويكون العزم للتوزيع التكراري ذي الفئات حول وسطه الحسابي هو :
مج ( س - سَ ) ك
م = حيث ك تمثل التكرارات
ن ( 3 : 48 )
• معامل الالتواء باستخدام العزوم :
للحصول على معامل الالتواء باستخدام العزوم نستخدم العزم الثالث ، حيث أن معامل الالتواء يساوي النسبة بين العزم الثالث ومكعب الانحراف المعياري، أي :

العزم الثالث العزم الثالث
معامل الالتواء = =مكعب الانحراف المعياري ( العزم الثاني )3
وهذا المقياس مبني على فكرة أنه عندما يكون التوزيع ، أو توزيع أي مجموعة من القيم متماثلا ً ، فان مجموع الانحرافات الموجبة عن المتوسط مرفوعة للقوة الثالثة ( أي بعد تكعيبها ) سوف تتوازن مجموع الانحرافات السالبة عن المتوسط مرفوع للقوة الثالثة .
ولذلك فانه اذا كان التوزيع متماثلاً يكون العزم الثالث أي م3 = صفر وينتج أن معامل الالتواء أو ل = صفر ، أما اذا كان التوزيع غير متماثل فان الانحرافات الموجبة مرفوعة للقوة الثالثة لا تتوازن مع الانحرافات السالبة مرفوعة للقوة الثالثة ، وحينئذ م3 لا تساوي صفر ، وبالتالي ل لا تساوي صفر .( 2 : 183 )

مثال3 :
احسب معامل الالتواء باستخدام العزمين الثالث والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 2 3 4 5 6 7 8 9 10
التكرار 3 3 5 5 6 8 4 4 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)3 (س-سَ)3
× ك
2 3 6 -4 16 48 -64 -192
3 3 9 -3 9 27 -9 -81
4 5 20 -2 4 20 -8 -40
5 5 25 -1 1 5 -1 -5
6 6 36 0 0 0 0 0
7 8 56 1 1 8 1 8
8 4 32 2 4 16 8 32
9 4 36 3 9 36 27 108
10 2 20 4 16 32 64 128
مج 40 240 192 42
مج ك س 240
سَ = = = 6
مج ك 40
العزم الثالث حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )3 × ك 42
م3 = = = 05,1
ن 40
العزم الثاني على حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )2 × ك 192
م2 = = = 8,4
ن 40
مكعب الانحراف المعياري
ع3 = ( العزم الثاني )3 = ( 8,4 )3 = 516,10
العزم الثالث م3
معامل الالتواء ل = =مكعب الانحراف المعياري (ع)3
05,1
ل = = 10,0 ( 6 : 124 )
516,10
مثال4 :
احسب معامل الالتواء باستخدام العزمين الثالث والثاني للتوزيع التكراري في الجدول التالي :
المركز 5 8 11 14 17 20
التكرار 5 6 6 4 3 2
الحل :
نحسب جميع المقادير المطلوبة كما بالجدول التالي :
س ك ك س (س-سَ) (س-سَ)2 (س-سَ)2 × ك (س-سَ)3 (س-سَ)3
× ك
5 5 25 -6 36 180 -216 -1080
8 6 48 -3 9 54 -27 -162
11 6 66 0 0 0 0 0
14 4 56 3 9 36 27 108
17 3 51 6 36 108 216 648
20 2 40 9 81 162 729 1458
مج 26 286 540 972
مج ك س 286 سَ = = = 11
مج ك 26
العزم الثالث حول المتوسط الحسابي
مج ( س - سَ )3 × ك 972
م3 = = = 38,37 ن 26
• العزم الثاني على حول المتوسط الحسلبي
مج ( س - سَ )2 × ك 540
م2 = = = 77,20
ن 26
مكعب الانحراف المعياري
ع3 = ( العزم الثاني )3 = ( 77,20)3 = 66,94
العزم الثالث م3
معامل الالتواء ل = = مكعب الانحراف المعياري (ع)3
38,37 ل = = 395,0
66,94
ويتضح منه أن التوزيع قليل الالتواء ناحية اليمين وهو التواء موجب . ( 3 : 50 )
نموذج لحساب الالتواء باستخدام الوسيط والربيعين :
مقياس الالتواء = ( الربيع الثالث - الوسيط ) - (الوسيط - الربيع الأول )
ن + 1 41
الربيع الأول = = = 25,10
4 4
قيمة الربيع الأول = 63 + ( 25,0 × صفر ) = 63
3 ( ن + 1 ) 3 × 41
الربيع الثالث = = = 75,30
4 4
قيمة الربيع الثالث = 66 + ( 75,0 × صفر ) =66
مقياس الالتواء = ( 66 - 5,64 ) - (5,64 - 63 ) = 5,1 - 5,1 = صفر
ويتضح منه أن التوزيع متماثل .
العلاقة بين مقاييس النزعة المركزية واتجاه التواء التوزيع :
إذا تطابقت مقاييس النزعة المركزية الثلاثة فان التوزيع يكون متماثل ، أما إذا كان المتوسط أقل من الوسيط أقل من المنوال فان التوزيع يكون ملتوياً إلى اليسار أو سالب الالتواء ، وإذا كان المتوسط أكبر من الوسيط أكبر من المنوال ، فان التوزيع يكون ملتوياً إلى اليمين أو موجب الالتواء .
ويمكننا تحديد الالتواء أو التماثل باستخدام العلاقة بين الربيعيات ، كما يلي :
توزيع سالب الالتواء
( الربيعي الأول - الربيعي الثاني ) >( الربيعي الثاني - الربيعي الثالث )
توزيع موجب الالتواء
( الربيعي الأول - الربيعي الثاني ) ( الوسيط - المتوسط الحسابي )
توزيع متماثل
( المنوال - الوسيط ) = ( الوسيط - المتوسط الحسابي )
• التفلطح Kurtosis
التفلطح هو قياس درجة علو قمة التوزيع بالنسبة للتوزيع الطبيعي عادة . وهو يقيس درجة ارتفاع التوزيع والذي عادة ما ينسب إلى التوزيع الاعتدالي ، فإذا كان للتوزيع قمة مرتفعة ( أكبر من التوزيع الاعتدالي ) يقال أنه مدبب Leptokurtic . وإذا كان التوزيع ذو قمة مسطحة يقال أنه مفلطح Platykurtic ، وإذا كانت قمة التوزيع متوسطة ( ليست مدببة وليست مفلطحة ) يسمى متوسط التفلطح Mesokurtic .
حيث أن ارتفاع قمة التوزيع الاعتدالي تساوي 3 تقريباً ، فان التوزيع يكون مفلطحاً عندما يكون معامل التفلطح أقل من 3 ، ويكون التوزيع مدبباً عندما يكون معامل التفلطح أكبر من 3. ( 6 : 125 )
وصفة التفلطح ليس لها علاقة بالمتوسط الحسابي للتوزيع فقد يكون هناك أكثر من توزيع لهم نفس المتوسط الحسابي ولكن يختلف شكل المنحنى من مدبب أو مسطح .( 5 :86 )
• أشكال التفلطح:
التفلطح التوزيع يشير إلى الاستواء أو التدبب في التوزيع بالنسبة لغيره من التوزيعات . فخاصية التفلطح تعد خاصية نسبية . فإذا نظرنا إلى المنحنيين التكراريين الموضحين بالشكل التالي نجد أنهما يختلفان في التفلطح فالمنحنى (أ) مدبب بدرجة أكبر من المنحنى (ب) ، ويتغير ارتفاع المنحنى (أ) بدرجة أكبر من المنحنى (ب)كلما زادت القيمة على المحور السيني

ولذلك فانه يقال أن المنحنى (أ) أكثر تدبباً Leptokurtic من المنحنى (ب) ، أو يمكن أن نقول أن المنحنى (ب) أكثر استواءاً Platykurtic من المنحنى (أ) .
منحنيان أحدهما مدبب والاخر مفلطح
• قياس التفلطح :
يوجد أكثرمن مقياس لقياس التفلطح وسنعرض منها مايلي :
معامل التفلطح المئيني : ( The Percentile Coefficient Of Kurtosis )
وهو يستخدم الربيعات والمئينات
ويحسب من المعادلة التالية:
1 الربيعي الثالث - الربيعي الأول
معامل التفلطح = 2 المئين التسعين - المئين العاشر
نصف المدى الربيعي= ( 3 : 49 )
المئين التسعين - المئين العاشر
مثال5 :
احسب معامل التفلطح لمجموعة من البيانات علمأ بأن نصف المدى الربيعي = 57,4 والمئين التسعين = 35,87 والمئين العاشر = 12,54
الحل:
57,4 57,4
معامل التفلطح = = = 14,0
35,87 - 12,54 23,33
( 5 : 86 )
• معامل التفلطح العزومي: ( The Percentile Cofficient Of Kurtosis )
( باستخدام العزوم )
وهو يعتمد على العزم الرابع حول الوسط الحسابي
ويحسب من المعادلة التالية :
العزم الرابع
معامل التفلطح = ( 3 : 149 )
مربع العزم الثاني ( 77,20 )2

وهذا يعني أن منحنى التوزيع التكراري مفلطح وذلك بمقارنته بارتفاع المنحنى الاعتدالي المعياري (3) تقريباً . ( 3 : 50 )
متى يلجأ الباحث الى حساب مقاييس الالتواء والتفلطح :
ذكرنا فيما سبق أن التوزيع يكون ملتوياً إذا تراكمت الدرجات عند أحد أطراف التوزيع دون الطرف الآخر . وتوجد عدة أسباب لالتواء توزيع الدرجات ، فمثلاً إذا كان اختبار عقلي معين غاية في السهولة أو غاية في الصعوبة فان توزيع درجات هذا الاختبار يكون ملتوياً . وبعض المقاييس الفسيولوجية مثل مقاييس زمن الرجع وسرعة الأداء يحتمل أن تكون توزيعات درجاتها ملتوية .